ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы квантовой теории поля в динамике стохастических систем из "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах " Для задач, рассмотренных в предыдущих параграфах, удается получить замкнутое статистическое описание благодаря тому факту, что эти задачи соответствуют системе дифференциальных уравнений первого порядка по времепп с начальными условиями при = 0. Для них выполняется условие причинности, сформулированное в третьей главе, которое заключается в том, что решение задачи в момент времени определяется только флуктуациями параметров системы в моменты времени и не зависит от них при г. [c.138] Условие причипности, одпако, может выполняться и для задач, описываемых интегральными уравнениями, которые, вообще говоря, не всегда сводятся к системе дифференциальных уравнений. Для таких задач останутся справедливыми все рассуждения, подробно описанные в книге как для дельта-коррелированных флуктуаций параметров, так и для флуктуаций параметров в виде процессов телеграфного типа. [c.138] Для простоты будем далее считать А функцией, а не оператором. Операторный характер Л несущественно усложняет дальнейшее рассмотрение. В самом деле, в случае, когда величина Л является оператором, можно ввести 6-функцию по переменным, на которые действует этот оператор, с соответствующим интегрированием и перейти к рассматриваемому случаю. [c.139] Уравнение (4.3) для функционала С можно решать методом итераций, выбрав в качестве нулевого приближения величину 8о(г, г ). Полагая в полученном разложении т) = О, получаем итерационный ряд для функции (8 (г, г )у. [c.140] Остановимся теперь для полноты картины на так называемом методе перенормировки. Дело в том, что даже при известной массовой функции уравнение Дайсона (4.13) представляет собой сло к-ное интегральное уравнение, решить которое в аналитическом виде удается далеко не всегда. В то же время уравнение Дайсона с упрощенной массовой функцией может быть в ряде случаев легко решено. Метод неренорхмировки заключается в том, что записывают уравнение Дайсона в виде интегрального уравнения, в которое вместо функции входит решение упрощенной задачи. [c.143] Уравнение (4.13 ) можно теперь решать методом итераций, выбрав в качестве нулевого приближения функцию В. [c.144] При 3 = 0 функция 3 = 8(1 и мы возвращаемся к уравнению Дайсона (4.13). Приведенный выше вывод уравнения (4.13 ) справедлив, очевидно, не только для гауссовского поля /, но и для поля / любой другой природы, так как уравнение Дайсона имеет один и тот же вид для любого поля /. [c.144] Перейдем теперь к реализации описанной схемы для различных процессов 2 ( ). [c.146] если в (4.18) 2 (1) = (1), то функции Си (р) описываются формулой (4.51) и мы приходим к формуле (4.59). Если же г ( ) = = fv ( ) то в сумме (4.65) остаются только четные индексы к и функции Сгк (р) определяются, как говорилось выше, решением уравнения Дайсона. Переход к гауссовскому процессу осуществляется предельным переходом оо, ТУ - а . [c.153] Остановимся теперь па приближениях, используемых обычно при анализе стохастических уравнений. [c.153] Таким образом, при выполнении условия (4.68 ) для всех рассматриваемых процессов вершинная функция Г Л, а массовая функция совпадает с той, которая соответствует телеграфному процессу. [c.155] Таким образом, для б-коррелированного процесса 2 ( ) лестничное приближение (4.73) является точным равенством. [c.157] Б заключение отметим, что описанный функциональный подход можно применять и к задачам, описываемым нелинейными уравнениями в частных производных с флуктуирующими параметрами. При этом легко написать линейное уравнение в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи и исследовать это уравнение аналогичными методами (см., например, [65]). [c.157] Вернуться к основной статье