ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщение на случаи негауссовских флуктуации параметров из "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах " Если нелинейная динамическая система описывается уравнением (1.1), в котором случайная сила / Х, t) удовлетворяет условиям а), б) и является дельта-коррелированной во времени (т. е. ее корреляционный тензор имеет вид, задавав- (2.8) мый правой частью (1.4)), то случайный процесс (i) является марковским, описывается УЭФ (1.10) и соотношениями (2.5) - (2.7). [c.81] При этом существенную роль играет условие причинности (1.2), вытекающее из уравнения (1.1) и начальных условий к нему. Эти факты хорошо известны (см., например, монографию [48]). Вывод УЭФ описанным выше методом содержится в работах [15]. [c.81] Таким образом, условие малости параметра является необходимым, но, вообще говоря, недостаточным для возможности описывать статистические характеристики решения системы уравнений (1.1) на основе приближения диффузионного случайного процесса (УЭФ). Для каждой конкретной задачи необходимо проводить более детальные исследования. [c.82] Отметим, что само уравнение (4.5) также легко решается путем преобразования Фурье по пространственной координате. [c.83] Легко видеть, что выражение (4.12) удовлетворяет УЭФ (4.7), а сама величина х Ц) называется при этом логарифмически нормальной величиной, так как величина 1н х (t) распределена по гауссовскому закону. [c.84] Решим теперь с помощью преобразования (4.16), (4.17) уравнение (4.13). [c.85] Проинтегрировав (4.29) по всем г, можно получить максвелловское распределение по скоростям, описывающее флуктуации скорости броуновских частиц. Случай Z7 = О соответствует описанию броуновского движения свободной частицы (4.25). [c.88] Характерной чертой гиббсовского распределения (4.29) является гауссовость по импульсным переменным и статистическая независимость координат и импульсов частиц. [c.88] При критическом режиме (i = 1), как видно из (4.41), не су- ществует стационарного распределения вероятностей для компоненты (г). [c.90] Уравнение (4.47) обычно является сложным для непосредственного анализа совместной плотности вероятностей. [c.92] Уравнение (5.17) является точным следствием исходного динамического уравнения (5.1). Статистические характеристики случайного поля / (х, I) входят в него только через функционал . [c.96] Ро х) = 6 (.X — о)- Уравнение (5.19) является замкнутым операторным уравнением относительно функции Р (х), конкретный вид которого определяется видом функционала 0 т. е. характером случайного поля /. [c.96] В общем случае уравнение (5.20 ) не замкнуто относительно функции Р ( ) . [c.97] При этом существенную роль играет условие причинности (5.7), вытекающее из самого уравнения (5.1) и начальных условий к нему. [c.99] В качестве иллюстрации изложенной теории приведем несколько примеров. [c.100] Решение многих чисто детерминированпых задач в ряде случаев можно интерпретировать как результат усреднения функционалов определенного типа по случайной траектории. Такая вероятностная интерпретация может быть полезна для различных приложений. [c.102] Выведем для простейших уравненпй условия возможности такой интерпретации. [c.102] Уравнения (5.63), (5.64) представляют собой при этом уравнения типа переноса. [c.104] Таким образом, для линейной системы (5.65) уравнения для средних значений так ке являются линейными. [c.105] Вернуться к основной статье