ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Среднее значение произведения двух функционалов из "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах " Таким образом, как видно на примере уравнений (1.12) и (1.15), для того чтобы получить замкнутые уравнения для интересуюш,их нас средних величии (если это возможно), необходимо научиться расш,еплять корреляции функционалов двух типов. Первый тип функционалов содержит явную зависимость от случайного процесса 2 ( ) (в рассматриваемом случае это просто линейная функ-1щя), а второй тип функционалов может зависеть от процесса 2 (т) как явным, так и неявным образом (например, через решение соответствующей динамической задачи). Под расщеплением корреляций мы понимаем представление среднего значения произведения двух функционалов через произведение самих усредненных функционалов. [c.48] На этом мы закончим пока рассмотрение задачи о параметрическом возбуждении колебаний за счет флуктуаций частоты (более подробно эта задача будет рассмотрена в седьмой главе) и перейдем к вопросу о расщеплении корреляций указанного выше типа. [c.48] Ограничимся для простоты одномерными случайными процессами (обобщения на многомерные случаи не вызывают затруднений). Как было показано выше, нам необходимо научиться вычислять корреляцию [г (т)] i [г, (т)] , где Р [г (т)] — функционал, явно зависящий от процесса г t), а В Ы (т)] — функционал, который может зависеть от процесса как явным, так и неявным образом. [c.48] Для вычисления этого среднех о значения рассмотрим вспомогательный функционал Й [г (т) + т] (т)],. где т] (г) — произвольная детерминированная функция, и вычислим величину г (т)] Я [г (т) + ц (т)] . Интересующую нас корреляцию получим, положив в окончательном результате т) (т) = 0. [c.49] Таким образом, для вычисления корреляции (РВУ требуется знание функционала О [у], который определяется видом функционала Р [г] и статистическим характером самого случайного процесса 2 (т). [c.49] Отметим, что если В [г (т)] имеет степенной вид В [г (т)] = = 2 tl)...z (г ), то формула (2.14) описывает рекуррентную связь меяоду и-точечным моментом процесса 2 ( ) и его кумулянтами. [c.51] В случае, когда 2 (г) = 2 — случайная величина, оператор ] dt б/б2 (г) переходит в д/йг и, следовательно, формула (2.14) переходит в формулу (1.1.34). Таким образом, формула (2.14) представляет собой обобщение формулы (1.1.34) на случайные процессы. [c.51] Рассмотрим теперь на конкретных примерах применение полученных выше формул. Как уже отмечалось, в физических приложениях наиболее часто рассматриваются модельные задачи, когда случайный процесс 2 t) можно считать либо гауссовским, либо пуассоновским случайным процессом, либо процессом телеграфного тина. Поэтому при рассмотрении конкретных примеров ограничимся именно такими процессами. [c.52] Вернуться к основной статье