ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближённое решение задачи устойчивости пластинок из "Пластичность Ч.1 " И применяют к решению задач устойчивости за пределом упругости. Произвольность таких рассуждений очевидна, поскольку нельзя говорить о том, что материал пластинки может в одном направлении (х) переходить за предел упругости, а в другом ( ) оставаться упругим. Кроме того, указанные и аналогичные рассуждения не дают общего метода составления дифференциального уравнения устойчивости в общем случае, когда на пластинку действует сложная система сил и не отражают тот бесспорный факт, доказанный в 37 и 38, что действующие силы существенным образом влияют на величины жёсткостей, т. е. на коэффициенты уравнений, связывающих изгибающие моменты с кривизнами. [c.304] Такая гипотеза может быть принята по следующим причинам во-первых, как увидим ниже, получающиеся на основании этой гипотезы значения критических сил хорошо согласуются с точными решениями, которые указаны в 36 во-вторых, имеющиеся опытные данные дают удовлетворительное подтверждение результатов, получающихся согласно этой гипотезе в-третьих, она удовлетворяет тождественно главному условию при постановке задачи устойчивости, а именно тому, что вариации внешних сил равны нулю в-четвёртых, она строго выполняется в том случае, когда деформация пластинки является упругой, т. е. пластинка не имеет второй и третьей зон деформаций. Заметим ещё, что если бы в области пластинки могли существовать только 1-я и 3-я зоны деформаций, то вследствие линейности и однородности соотношений (5.18) и (5.23) и граничных условий (5.42) гипотеза (5.92) также выполнилась бы тождественно. [c.304] Здесь Отд., Юу суть частные производные от ы) по х а у. [c.307] Контурный интеграл обращается в нуль на основании граничных условий, и потому двойной интеграл, распространённый, как и во всех предыдущих случаях, по всей площади пластинки, равен нулю. Но при произвольной вариации bw такое равенство возможно лишь в том случае, если подинтегральное выражение равно нулю, т. е. если имеет место уравнение (5.32). Таким образом эквивалентность условия минимума выражения (5.105) и дифференциального уравнения устойчивости (5.32) доказана. [c.310] Если напряжённое состояние пластинки перед потерей устойчивости не является однородным, то величины ш, tj/, А и напряжения зависят от координат у я потому жёсткости являются переменными. Подстановка выражений моментов (5.99) в уравнение (5.32) Приводит к линейному дифференциальному уравнению четвёртого порядка с переменными коэффициентами почти общего вида, поскольку в него входят все возможные производные по двум переменным от второго до четвёртого порядка включительно. [c.310] Так как рассматриваемое напряжённое состояние пластинки перед потерей устойчивости является однородным, главные оси напряжений всюду имеют одинаковые направления, и потому образуют декартову систему координат. Если в качестве осей л , у взять именно главные оси, то уравнение (5.110) упростится, поскольку касательное напряжение Ху в этих осях равно нулю члены, содержащие нечётные степени дифференциалов координат, исчезают, и уравнение устойчивости становится вполне аналогичным известному уравнению Брайана. [c.310] И Принять за параметр, критическое значение которого определяется при решении задачи устойчивости пластинок. Рассмотрим несколько частных примеров. [c.311] Заметим, что указанные решения не изменятся, если вместо метода Тимошенко воспользоваться для их определения дифференциальным уравнением (5.110), поскольку в пределах исходного предположения (5.92) они являются точными. [c.314] Вернуться к основной статье