ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теоретико-функциональная проблема центра из "Лекции по небесной механике " Начнем с определения понятия устойчивости и неустойчивости. Пусть задано топологическое пространство точки которого обозначим через р, и пусть а есть фиксированная точка пространства Под окрестностями в дальнейшем будем понимать только окрестности точки а в пространстве 9i. Пусть pi = Sp топологическое отображение окрестности ili на окрестность iBi, причем точка а = За отображается сама в себя. Обратное преобразование p i = переводит Bi в ili, и вообще рп = З р (п = О, 1, 2.) будет топологическим отображением окрестности на окрестность которое имеет а неподвижной точкой. Для каждой точки р = ро пересечения ili П 1 =233 найдем последовательно образы pf +i = S pf (f = О, 1.), пока р находится в ili, и равным образом p f -i = S pf , пока p f лежит в iBi- Всегда существует максимальное число к + 1 = п, такое, что все ро, , pn-i еще лежат в ill, но р там уже не лежит аналогичное утверждение справедливо для отрицательных индексов. При этом для каждого р из 233 имеется или конечная, или бесконечная в одну сторону, или бесконечная в обе стороны последовательность образов р =. .., p i, ро, pi, причем индекс к последовательно пробегает целые числа. [c.234] Назовем отображение 3 устойчивым в неподвижной точке а, если для каждой окрестности it С существует такая ее часть С it, для которой все образы S п = 1, 2,. ..) лежат в И. Неустойчивость определим не просто как логическую противоположность устойчивости, по с помощью более сильного требования, а имеппо следующим образом. Отображение 3 называется неустойчивым в неподвижной точке а, если существует такая окрестпость it С ШЗ, что для каждой точки р 7 а из И по крайней мере один образ р лежит вне it. [c.234] Пусть X = с будет равновесным регпением, для которого, следовательно, //с(С ) = О, и пусть в окрестности х = выполнены условия Липшица. Обозначим опять через х 1, С) решение системы (1) с начальными условиями Хк = к при 4 = 0. Тогда переходом от к х 1, С) при каждом фиксированном i в окрестности неподвижной точки х = устанавливается топологическое отображение 5 . Мы получим определение устойчивости и неустойчивости системы (1) для рассматриваемого положения равновесия, если в данных выше определениях заменим а, р, 5 и = 5 р п = О, 1,. ..) на С, 6 -З и 4 = х 1, С) с действительной переменной 1. При этом нужно, однако, потребовать, чтобы в определении фигурировали только положительные значения тогда речь будет идти только об устойчивости и неустойчивости в будуш ем. Это понятие имеет большое значение в задачах механики. Точно так же переносится очевидным образом и понятие смешанного случая. [c.236] Наоборот, каждой заданной последовательности Г, Г2,. .. соответствует опять иррациональное число а из интервала О а 1 с заданными неполными частными этой непрерывной дроби. [c.243] О а 1 меру Лебега, равную единице. Множество действительных иррациональных чисел а, для которых по крайней мере один сходящийся ряд /( ) с первым коэффициентом Л = приводит к расходящемуся ряду Шрёдера (р С), имеет поэтому меру нуль. В частности, можно сказать, что вообще отображение 5 устойчиво, если только выполнено необходимое условие Л = 1. [c.243] Вернуться к основной статье