ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Аналитические преобразования, сохраняющие объем из "Лекции по небесной механике " Тогда преобразование Т входит в группу Г и соответственно 5 входит в Д. Впрочем, легко заметить, что если подстановка С не удовлетворяет условию (4), то не для каждого сохраняющего объем преобразования 5 преобразование С ЗС будет также сохранять объем. Цель этого параграфа и заключается в том, чтобы при заданном 5 соответствующим подбором С установить нормальную форму для Т [1]. [c.206] При этом в гиперболическом случае можно выбрать действительной, в то время как в эллиптическом случае оба столбца можно взять комплексно сопряженными. [c.207] Доказательство проведем сравнением коэффициентов. Если требование си = ТС выполнено, то, следовательно. [c.208] Таким образом, при заданных условиях найдена такая подстановка С, которая переводит Т в нормальную форму II = С ТС, заданную выражением (15). Пужно еще показать, что С сохраняет объем. [c.210] У совершается с помощью действительной подстановки с постоянным функциональным определителем е = —2г ф 0. Так как, кроме того, можно нормированием сделать = г/2, то можно положить = 1, тогда 5 переведется действительной сохраняющей объем подстановкой в нормальную форму. Следовательно, в предположении, что А не равно корню из единицы, в гиперболическом и эллиптическом случае для заданного действительного сохраняющего объем преобразования г = Зг можно найти нормальную форму, принадлежащую группе Д. [c.216] Пусть в эллиптическом случае ряд ъи в преобразовании (31) сходится при -Ь 5 = Тогда при преобразовании (31) каждый круг радиуса Д с центром в начале координат переходит сам в себя, поворачиваясь на угол ги, зависящий только от радиуса р. Если на том же круге лежат неподвижные точки повторенного п раз отображения [/ , то соответствующий угол поворота пъи должен быть кратным 2татг угла 2тг, и тогда весь этот круг при отображении [/ переходит сам в себя. Если в степенном ряду ад не все коэффициенты 71, 72,. .. равны нулю и, следовательно, ад не является постоянной, то существует в силу непрерывной зависимости ад от радиуса бесконечное множество значений /5 Д, для которых отношение = Щ будет рациональным тогда каждый такой круг состоит только из неподвижных точек преобразования [/ . [c.219] Наиболее интересным является эллиптический случай мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением только этого случая. В отличие от гиперболического случая для получения результатов здесь существенна нормальная форма и существенна сходимость II. Без предположения о сходимости и не удалось доказать существование инвариантного при преобразовании 5 однопараметрического семейства кривых, соответствующих упомянутым выше концентрическим окружностям, и надо полагать, что такое семейство вообще в этих условиях не существует. Все же в следующем параграфе будут еще сделаны некоторые выводы в задаче о неподвижной точке без использования нормальных форм. Мы хотим предварительно с помощью сохраняющей объем подстановки, выраженной сходящимися рядами, найти по меньшей мере некоторое приближение к нормальной форме. [c.219] Но последнее уравнение дает условие интегрируемости, из которого вытекает существование степенного ряда р х, у) в форме (35) с заданными производными Рх = Q, Рг) = Р- При этом в силу уравнений (36) мы получаем представление С в форме (34). Если С при этом действительно, то все коэффициенты разложения р получаются действительными числами. Если, наоборот, сделать, замены (34) и (36) с произвольным степенным рядом р, имеющим форму (35), то получается Р = Qr и равенства (37), откуда, очевидно, следует первое уравнение (38). Следовательно, подстановка (34) опять содержится в Д. [c.221] Вернуться к основной статье