ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Схема построения решёточных калибровочных теорий из "Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой " Эвристическим основанием для таких теорий, которое полезно постоянно иметь в виду, является эвклидов вариант фейнмановского интеграла по траекториям, приведший к заметным успехам в конструктивной квантовой теории поля (обзор вопроса и библиографию можно найти в [11, 12, 80] ). [c.11] Здесь Ис1ф х) обозначает (несуществующую) меру Лебега на полях, а Z — нормировочный множитель, выбранный так, что й х=1. Решёточные варианты этой формулы были с большим успехом применены в случае скалярных теорий поля, так как они позволили воспользоваться методами статистической механики [13, 14] переход к непрерывной модели удалось действительно провести в размерностях 2 и 3 [13,14]. [c.11] например, книгу Дубровина, Новикова и Фоменко [2 ],— Прим. ред. [c.11] Иногда будет полезно считать, что gx / возникают из лежащего в основе непрерывного калибровочного поля по правилу (1.1). [c.12] Конечно, определение (1.6) никоим образом не является единственно возможным существует много других определений, которые формально имеют тот же самый непрерывный предел. Однако важный вопрос заключается в том, верно ли, что неформальный переход к непрерывному пределу не будет зависеть от выбора решёточной аппроксимации. Как мы увидим ниже, в общем случае ответ оказывается отрицательным. Мы будем в этом вопросе придерживаться прагматической точки зрения и выбирать решёточное действие из соображений удобства последующий успех должен служить оправданием такого выбора. [c.13] Заметим, что (1.6) не является даже однозначным определением, потому что оно зависит от выбора характера %. Оказывается, это тесно связано с проблемой удержания. В стандартном случае, когда G = SU (N), мы будем настаивать на использовании фундаментального представления, так как при этом представление центра получается точным. Любопытно, что для формальной непрерывной теории это обстоятельство не имеет значения. Однако непрерывный предел решёточной теории будет, по-видимому, сильно зависеть от представления центра. [c.13] Впервые потенциал взаимодействия типа логарифма 0-функции рассматривал В, Л, Березинский (в модели плоских ротаторов см. [3 ]). Поляков неоднократно использовал такой потенциал в других моделях. — Прим. ред. [c.13] Поля Хиггса, равно как и спинорные поля, живут на узлах решётки они объединяются с калибровочными полями при помощи решёточного варианта стандартного мнинмаль-ного спаривания кроме того, поля Хиггса будут некоторым подходящим образом взаимодействовать между собой. Во избежание слишком длинных формул мы положим е— 1 в случае необходимости легко вставить е обратно. [c.15] Иногда мы будем требовать, чтобы значения ф лежали на сфере фиксированного радиуса Я в Тн, т. е. чтобы Ф(х) II = Я для всех X. [c.15] Здесь V — чётный полином степени 4 с положительным старшим коэффициентом, а первая сумма берется по всем ориентированным рёбрам (хуУ. Действие 5н будет действительно хиггсовым , если V будет иметь глубокий минимум (абсолютный) в далекой от нуля точке. [c.15] То ( калибровочное пространство ) — это унитарное пространство, в котором действует унитарное представление U калибровочной группы G. [c.16] С предыдущим тесно связан следующий факт. Естественно предположить, что непрерывный предел формально не зависит от 0. Однако более внимательный анализ [95] (см. раздел 5) показывает, что часто в непрерывном пределе остается память об угле 0. Соответствующие зависящие от О состояния известны как -вакуумы] в другом контексте мы еще встретимся с ними в разделе 4а. [c.17] Приведенные выше формальные определения действий Sy.ni., Sh, 5f становятся осмысленными. Определим как грасс-манову алгебру, порожденную образующими фаа(л ), фаа (- с) хел С коэффициентами, ЯВЛЯЮЩИМИСЯ ограниченными непрерывными функциями бозонных полей ф х) . [c.18] Вернуться к основной статье