ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационная формулировка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений из "Метод конечных элементов " Замечание 1. Для /еС (0) имеет место соотношение (1). [c.10] Будем говорить, что задачи 2, 3 и 4 являются соответственно сильной, полуслабой и слабой вариационными формулировками краевой задачи 1. [c.12] Тем же способом, что и в примере 1, можно показать, что сформулированные четыре задачи имеют одно и то же единственное решение. [c.13] Замечание. В задаче 3 из примера 2 (полуслабая формулировка) краевое условие (1) + аи (1) = 0 не участвует в определении и, но используется в билинейной форме а. В таком случае говорят, что это краевое условие является естественным. Наоборот, краевое условие и (0) = О участвует в определении V. Это главное краевое условие. [c.13] Доказательство. 1. Покажем, что задача 1 имеет-не более одного решения. Пусть и 2 —два решения, ш = — 2- Полагая и — хе), получаем а (да, ш)=0 и ш = 0. [c.14] Из последнего неравенства, которое должно выполняться для всякого к, вытекает, что а (и, и) = ф(и). [c.14] Это соотношение показывает, что м является в то же время решением задачи 2, и доказательство завершено. [c.14] По соображениям, которые выяснятся в следуюш,ем параграфе, наиболее интересными для численного анализа являются полуслабые вариационные формулировки. [c.14] Заметим, что краевое условие, относящееся к dQg. является естественным. [c.15] Замечание. Решение задачи 2 в примере 3, которое не является решением задачи 1, называется обобщенным решением. [c.15] Предположим, что задачу, поставленную в примере 1 предыдущего параграфа, требуется решить численным методом, ориентированным на вычислительную машину. Рассматривая решение и как множество пар чисел (д-, (д-)) д е [О, 1] , мы видим, что вычислительная машина, которая может оперировать только с конечным множеством чисел, не в состоянии обработать всю информацию, относящуюся к .Следовательно, данную задачу необходимо свести к другой задаче, которая содержит в качестве неизвестных только конечное множество чисел. Эта новая задача, решение которой, вообще говоря, будет только приближением (причем требуется уточнить, в каком смысле) решения исходной задачи, называется дискретной задачей . [c.16] Вернуться к основной статье