ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Каноническая форма симметризуемых систем с положительно определенным квадратичным первым интеграСимметризуемые комплексные системы из "Системы гидродинамического типа и их применения " Среди нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений особую роль играют системы, описываемые одной функцией. В механике и статистической физике центральное место занимают системы Гамильтона, задаваемые в канонической системе координат своими гамильтонианами. В теории поля и в теории нелинейных волн развит гамильтоновский формализм для систем с континуальным числом степеней свободы (см. [111, 89]). [c.220] Симметризуемость динамической системы является структурным свойством, не зависящим от выбора линейных координат, так как оно эквивалентно существованию невырожденной вещественной матрицы М, для которой матрица м- дх /дху) симметрична. [c.221] Напомним также, что класс систем гидродинамического типа (СГТ), введенный Обуховым в [190], выделяется не зависящими от выбора линейных координат структурными свойствами квадратичной нелинейности (к.-н. с.), регулярности дх /дх ) = 0, и наличия положительного квадратичного первого интеграла ). [c.221] Симметризуемые системы, допускающие введение симметричного (кососимметричного) симметризатора, называются 0-системами (Я-системами). Наличие симметричного (кососимметричного) симметризатора является структурным свойством системы. [c.221] называется В-системой. Простейшим примером Б-сис-темы является канонический триплет (3) ). [c.222] В фиксированной системе линейных координат д . .. [c.222] Поэтому система (7) является 0-системой. [c.223] Скобка (12) была введена в [199]. [c.226] В частности, линейное пространство характеристических функций квадратично-нелинейных (к.-н.) 0-систем с данными симметризатором (2) и квадратичным положительным первым интегралом (1) порождается кубическими формами Р (I, /) = для пар ( , /) таких, что 20,. + ву = О, Р (1, ,к)= Х ХуХ для трсек (/, /, к таких, что 0,. + 0- + + 0 = 0. [c.228] Если форма заранее неизвестна, то данное условие накладывает линейные ограничения на возможный вид матрицы формы 0 в системе координат х- ,. .., л ), в которой форма В не обязательно есть сумма квадратов. [c.229] В частности, если гамильтониан / — кубическая форма, то 2( /+ /) = 3, (со, а) = 0. Для всех / соу 0, ау 0, Поэтому либо ау = 2. [c.230] Если Я-симметризатор неизвестен, то данное условие накладывает линейные связи на матрицу формы 1 (д , у) в системе координат х . ... д 2 ), в которой форма В не обязательно есть сумма квадратов. [c.233] При изучении резонансного взаимодействия планетарных волн, а также поведения системы резонирующих связанных осцилляторов [153, 239] возникают симметризуемые системы, допускающие естественное введение комплексных координат в фазовом пространстве. Дадим точное определение данного класса систем. [c.236] Квадратичная форма о = 2121 + 2223 —интеграл движения системы (11). Поэтому Рх = — Ра = Р. [c.240] Вернуться к основной статье