ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Модель рэлеевской конвекции. Автоколебания, мягкий и жесткий режимы возбуждения из "Системы гидродинамического типа и их применения " За последние годы появился ряд работ (см., например, [55, 71, 158, 160, 162]), посвященных исследованию других динамических систем со странным аттрактором. В связи с этим возникает вопрос, в какой степени поведение такого рода систем является типичным для реальных гидродинамических систем. В частности, насколько существенно отличаются топологические свойства орбит динамических систем, имеющих одинаковое гидродинамическое происхождение, но отличающихся размерностью фазовых пространств В работе [162], например, построена восьмипараметрическая система гидродинамического типа, орбиты которой притягиваются к аттрактору Лоренца. Как было показано выше, в рассматриваемой модели такое имеет место в случае сферической симметрии. Однако в рассмотренном выше более общем случае а фа фа фа дело обстоит иначе из-за наличия нелинейного взаимодействия [ю. Ж] и благодаря тому, что, в отличие от модели Ь, ось вращения и градиент температуры элементарной конвективной ячейки могут занимать в процессе движения произвольное положение в пространстве. [c.139] Для а а (см. рис. 44) и Я Яг все собственные значения матрицы находятся в левой полуплоскости комплексных чисел, а пара комплексно-сопряженных корней Х1, х,, отвечающих матрице имеет положительные вещественные части, причем при Я — Кех1— -0. В случае а а и Яа Я Я1, напротив, в левой полуплоскости находится спектр собственных значений матрицы а положительные вещественные части имеет пара Ха, Ха, соответствующая матрице (при Я = Яа, Кеха = 0). Наконец, в точке пересечения критических кривых Ях и Яа четыре собственных значения матрицы еМ пересекают мнимую ось, а в области III они имеют положительные вещественные части. [c.142] Используя (13) и свойства корней кубического многочлена, нетрудно показать, что такое пересечение происходит с положительной скоростью, т. е. dRexi/ iR R=R, 0. Остальные собственные значения матрицы остаются в левой полуплоскости. Поэтому, согласно бифуркационной теореме Хопфа (см., например, [167]), в окрестности R = Rj рождаются замкнутые орбиты с периодом Т ж 2л/ . Исследование условий устойчивости замкнутых орбит, сформулированных в теореме Хопфа, в данном случае потребовало бы проведения громоздких и утомительных вычислений. Для достижения цели воспользуемся методом разложения по малому параметру AR = R — R p, применяемым в гидродинамике, и получим приближенное уравнение для квадрата амплитуды колебаний. К динамическим системам такой метод применяется, например, в [162]. [c.143] р приведены в табл. 1 (вычисления выполнены на калькуляторе НР-65). [c.145] Конкретные значения В,- (I = О, 2, 4) для различных а приведены в табл. 2, в которую также включены резонансные значения е и амплитуд колебаний составляющих -системы. В скобках указаны величины, полученные в результате численного интегрирования системы в точках, помеченных на диаграмме устойчивости (см. рис. 44). [c.151] По реализации i = k i(t) было сосчитано 12 спектров методом быстрого преобразования Фурье. Длина реализации бралась равной 410 единицам безразмерного времени, т.е. около 1307 а, где 7 a = 2n/min( i, l ))- Заметим, что в точке пересечения критических кривых I, 1,9, la 5,9. [c.153] С частотами, приблизительно равными 1,8 и 4,9 соответственно, а на участке (б) Ш1(т) ведет себя как периодическая функция. [c.155] Вернуться к основной статье