ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория устойчивости течений в сосудах эллиптического сечения из "Системы гидродинамического типа и их применения " Здесь е—параметр, характеризующий отклонение эллипсов (3) от окружностей. [c.77] Граничные условия для системы (7) сохраняют прежний вид (2) с вектором нормали п к поверхности (5). Отметим, что в новых переменных кинетическая энергия движения жидкости определяется выражением =[(1 + е) + (1 - е) + а ]. [c.77] Анализ решений системы (7) при е = 0 был выполнен Соболевым, причем для неограниченного пространства задача Коши решается в явном виде [223]. Исследование поведения решений системы (7) при больших значениях I для ограниченного пространства значительно усложняется при е =5 0. Поэтому естественно пытаться получить ее решение с помощью теории возмущений по параметру е или методом Галеркина. [c.77] В (11) для удобства введен векторный индекс = ( ,/), в котором индексом I нумеруются собственные значения (о при заданном п. Ниже векторные индексы обозначаются греческими буквами. [c.78] Уравнения (10) показывают, что собственные значе ния сОи расположены симметрично относительно нуля, и система собственных функций может быть выбрана таким образом, что при замене со на —со соответствующая собственная функция переходит в комплексно-сопряженную. [c.79] Ниже будем предполагать, что система собственных функций выбрана именно таким образом, и если существуют вырожденные собственные значения, то соответствующие им собственные функции выбраны ортогональными. [c.79] При выводе (18), (19) использовано легко проверяемое соотношение ГЛ=5Г/5ф. [c.80] И ОТЛИЧНЫ от нуля только для собственных функций с волновыми числами пип, отличаюш,имися одно от другого на 2. Следовательно, = 0. [c.80] Учитывая (20), получаем, что по крайней мере при достаточно малых значениях е 1ш8 = 0. [c.80] Таким образом, 1т х О, что отвечает экспоненциальному росту соответствующих начальных возмущений, а возможность возбуждения тех или иных мод определяется геометрией сосуда. [c.80] При этом системы уравнений для различных значений т оказываются независимыми и суммирование в (18) фактически проводится лишь по составляющим п и векторного индекса а = (т, п, / ). [c.81] При 5 О равенство (27) определяет параметры цилиндра, при которых происходит экспоненциальный рост начальных возмущений. При вырождении собственного значения ю = 0( 7у=1) инкремент нарастания имеет порядок е. Области неустойчивости и значения инкрементов роста мод с п = 1 приведены на рис. 20 в координатах (е, ЫН). Области неустойчивости обозначены символами где т указывает на периодичность возмущения по оси г, а I—на номер корня уравнения (24) при п=1, 0, так как, согласно (27), только такие возмущения при малых значениях е неустойчивы. Легко заметить, что корни уравнения (24) /г расположены между корнями и уравнения/1(1)= О (Х.,,==0). Поэтому I—1 равно числу перемен знака осевой компоненты скорости по оси г, т. е. I можно рассматривать как число вихрей , укладывающихся на оси г. Для ясности на рис. 20 приведены области, соответствующие лишь наиболее крупномасштабным возмущениям. [c.82] Для оценки точности расчета областей неустойчивости по ( рмуле (27) с помощью уравнения (18) были проведены дополнительные вычисления с учетом соседних по / мод. Это не дало заметного изменения границ областей неустойчивости при е 0,6. [c.82] На рис. 21 приведены эти границы для двух первых значений корней А+ и Л уравнений (39), (40) при т=1. Для сравнения указаны области неустойчивости рис. 20, полученные по уравнению (27). При небольших е различие между областями, полученными двумя подходами, пренебрежимо мало. [c.86] Уравнения (12), (45), (48) —(50) определяют поля скорости, соответствуюш,ие собственным функциям задачи (10). Отметим, что (49), (50) при заданных I и п определяют, вообще говоря, несколько значений о к д, которые нумеруем индексом , окончательно векторный индекс а принимает вида = (/, п, /). [c.88] Слева стоят производные по реальному времени. [c.89] Отметим, что эти уравнения дают точное решение линеаризованных уравнений Гельмгольца (56) в классе полей по координатам степени не выше второй. Из системы (57) получим известные условия устойчивости данного движения (вращение вокруг оси х) в классе линейных по координатам начальных возмущений устойчивость при а с, а Ь или а с, а Ь и неустойчивость при с , а Ь. [c.91] При ЭТОМ поле скорости, построенное в виде суперпозиции полей Wi, Жб, 10. 11 с коэффициентами, являющимися неустойчивыми решениями системы (58), соответствует визуально наблюдаемому в эксперименте (рис. 12). Более детальный анализ показывает, что других областей неустойчивости уравнение (58) не дает. [c.92] На рис. 22 показаны все три области неустойчивости вращения жидкости в эллипсоиде в координатах (е, а К). Область / соответствует неустойчивости относительно линейных возмущений, области // и /// — относительно квадратичных возмущений, причем параметры последних двух областей определяются системами (58) и (59) соответственно. Звездочками отмечены параметры эллипсоидов, для которых проводились эксперименты, описанные в 2. [c.93] Вернуться к основной статье