ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эквивалентность триплета классическому гироскопу из "Системы гидродинамического типа и их применения " Опираясь на общее определение систем гидродинамического типа, можно теперь сказать, что уравнения движения Эйлера для гироскопа являются примером СГТ третьего порядка. Такую систему будем называть триплетом. Как показано в 2, гидродинамической интерпретацией триплета является течение идеальной несжимаемой жидкости внутри разноосного эллипсоида с линейным распределением скорости. [c.45] СГТ при п = 2 не существует, о чем говорилось выше. Можно воспользоваться также общей формулой для числа независимых компонент динамического тензора СГТ. При этом опорную систему координат будем предполагать декартовой и уравнения движения СГТ будут заданы в энергетическом представлении. [c.46] Легко видеть, что N принимает положительное значение начиная с п = 3, которому соответствует Л = 5. [c.46] Это утверждение в более точной формулировке означает, что всегда можно выбрать новые переменные ы,-, являющиеся линейными функциями старых переменных 1 8. так, чтобы М1 + М2 + Ма = 1 + 1 + 1 , и при этом уравнения движения в новых переменных будут иметь форму (3). [c.47] Остальные параметры обращаются в нуль. [c.48] Таким образом, в новых переменных 1, и , з уравнения движения приобретают форму (3), и теорема об эквивалентности произвольного триплета классическому гироскопу доказана. [c.48] Поставим теперь вопрос о том, каким образом из сложной регулярной системы получить более простую систему, также регулярную и удовлетворяющую закону сохранения энергии. [c.48] Практически для упрощения системы используется метод замораживания части фазовых координат и переход к укороченной системе, описываемой уже меньшим числом уравнений. Вопрос о законности такой операции решается обычно на основе физических соображений, позволяющих оценить, насколько возбуждены лишние степени свободы, которые теоретик склонен заморозить ради упрощения задачи. [c.49] Доказательство сохранения энергии для укороченной системы следует также из равенства (3.7), справедливого для всех I, /, =1, 2,. .., л, а следовательно, и для I, /, =1, п, поскольку замораживание эквивалентно отбрасыванию п—п уравнений и лишних переменных. Однако полученная таким образом новая система совсем не обязательно будет регулярной. В частности, при переходе от л = 3 к л = 2 нельзя получить регулярную нетривиальную систему, как это было выяснено выше. [c.49] Чтобы условия регулярности для укороченной системы выполнялись, достаточно замораживать те степени свободы, которым соответствуют уравнения с правыми частями, не содержащими таких степеней свободы, т. е. для некоторых фиксированных к ду ду = 0. [c.49] Можно выделить класс систем, для которых существует ортогональный базис, образованный стационарными состояниями системы. В таком базисе коэффициенты взаимодействия Г отличны от нуля, только если все индексы /, k различны. Такие системы будем называть вполне регулярными. В этом случае при использовании естественного базиса любая подсистема, полученная замораживанием любых переменных, будет регулярной. [c.50] Нетрудно показать, что система обязательно будет вполне регулярной, если существует два существенно различных квадратичных интеграла (один из них—энергия), причем все собственные значения второй квадратичной формы должны быть различны (нет кратных корней в энергетическом представлении). [c.50] Вернуться к основной статье