ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационный метод в проблеме разрешимости краевых задач нелинейной теории пологих оболочек в перемещениях из "Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек " Лемма 21.1. Функционал 5 (х(а + а ) определен в каждой точке функционального пространства Я(х. [c.177] Теорема 21.3. Пусть выполнены все условия теоремы 16.1. В этом случае функционал 5 и.(г ) = ,x(a(г ) + a ), даваемый формулой (1.25), является растущим в Я , иными словами, 5 к(г ) при и 1 р - оо. [c.183] После установления (21.33) перейдем к непосредственному доказательству теоремы 21.4. [c.185] Ниже и будем называть абсолютно минимизирующей последовательностью. [c.185] Теорема 21.5. Пусть выполнены все условия теоремы 16.2. В зтом случае краевая задача х имеет по крайней мере одно обобщенное решение ю, придающее функционалу 3 т ю) абсолютный минимум, при зтом определяется по (13.36). [c.186] Теорема 21.7. В условиях теорем 16.1—16.3 всякая абсолютно минимизирующая соответствующий функционал последовательность м сильно компактна в Ях и всякий сильный предел этой последовательности о доставляет 3 хх и ) абсолютный минимум. [c.187] Примем некоторые определения. [c.187] В зтом случае назовем г o точкой строгого абсолютного минимума. [c.187] Теорема 21.8 непосредственно вытекает из теоремы 21.6. [c.187] В этом случае любая абсолютно минимизирующая последовательность может быть разбита на некоторое число (не более Щ сильно сходящихся последовательностей, каждая из которых сходится к своему элементу из м о, А = 1,. .., Л . [c.187] Для доказательства учтем, что, поскольку число элементов и о конечно, то каждый из них можно считать принадлежащим некоторому шару Ш (р, г o ) радиуса р, причем не пмеют общих точек. Легко, далее, видеть, что вне шаров мы будем иметь лишь конечное число элементов из последовательности г . В самом деле, если бы их было бесконечное число, то это бы означало, что вне Шл имеется абсолютно минимизирующая последовательность. [c.187] В этом случае будем называть относительным минимумом (максимумом) функционала 3 хя ю), а Ш(г, и о) — шаром относительного минимума (максимума) 3 т ю). Если в (21.58) выполняется строгое неравенство, то то будет строгим относительным минимумом (строгим относительным максимумом). Соответственно Ш(г, м о) будет шаром строгого относительного минимума (максимума). [c.188] Ее ниже будем называть относительно минимизирующей (максимизирующей). Очевидно, ограничена и слабо компактна, и пусть 1Со — один из ее слабых пределов. [c.188] Лемма 21,7, Функционал. 5 ,х(а + а ) ограничен снизу при произвольном изменении а в Н . [c.189] Лемма 21.8. Всякая абсолютно минимизирующая последовательность а ограничена в Я,. [c.190] Теорема 21.12. Пусть выполнены условия теорем 16.1—16.3. В этом случае всякая абсолютно минимизирующая последовательность а сильно компактна в Я, и каждый предел последовательности из а придает абсолютный минимум в Н1х. [c.190] Теорема 21.14. Пусть аоь аог, аол-— абсолютные минимумы в Я,х, которых предполагаем конечное число. В этом случае всякая минимизирующая последовательность может быть разбита на конечное число (максимум Л ) сходящихся последовательностей, каждая пз которых сходится к своему абсолютному минимуму ао. [c.190] Теорема 21.16. В условиях теорем 16.1 —16.3 всякая относительно минимизирующая (максимизирующая) последовательность а сильно компактна в Я, и всякий сильный предел ао этой последовательности является обобщенным решением задач ix, придающим SftK относительный минимум (максимум). [c.191] Доказательства теорем 21.13—21.16 здесь не приводятся из-за полной аналогии с доказательствами теорем 21.8—21.11. [c.191] Вернуться к основной статье