ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ВИХРЕВЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ 15 о В. Ф. Козлов, К. В. Кошель. Хаотическая адвекция в моделях фоновых течений геофизической гидродинамики из "Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей " Для того чтобы проанализировать процесс хаотического перемешивания, необходимо сначала проанализировать различные критерии, направленные на идентификацию типа движения отдельных вихрей или маркеров, а затем приступить к изучению критериев интенсивного перемешивания. [c.447] В настоящее время существует широкий набор критериев определения хаотического режима эволюции нелинейных систем, среди которых можно выделить группу качественных критериев и группу количественных критериев. Качественный анализ траекторий движения в реальном, или в фазовом, пространстве [4, 8, 10] является одним из наиболее простых. При этом в качестве переменных фазового пространства выбираются не только проекции траектории (решения) рассматриваемой системы, но и проекции скорости движения. [c.447] Если фазовые траектории представляют собой регулярные, упорядоченные кривые, в которых наблюдается определенная графическая закономерность, то такое движение на рассматриваемом временном интервале называется регулярным [8, 10, 18]. В противном случае, система, которая обладает неупорядоченными или непредсказуемыми траекториями, является хаотической. [c.447] Другим критерием определения режима эволюции системы является сечение Пуанкаре [8, 10]. При построении сечения в фазовом пространстве исследуемой системы выбирается плоскость, на которой фиксируются координаты точек пересечения фазовой траектории отдельного вихря (или маркера) в заранее выбранном направлении. В результате появляется последовательность точек, которые являются своеобразным протоколом движения рассматриваемой системы. Для периодических систем в качестве метода дискретизации фазовой траектории можно выбрать эквидистантные интервалы времени, соответствующие периоду движения. [c.447] Если последовательность точек сечения Пуанкаре формирует упорядоченную структуру, или точки ложатся на какую-либо регулярную кривую, то такое движение системы называется упорядоченным. Если сечение Пуанкаре формирует неупорядоченную последовательность точек, то движение в этой области является хаотическим. Сечение Пуанкаре находит достаточно широкое применение при анализе различных физических систем [1, 4, 7, 17]. [c.447] Если спектр представляет дискретный набор гармоник, то движение является периодическим (или квазипериодическим), а следовательно, регулярным. Если спектр представляет собой непрерывную функцию частоты, то динамическая система находится в хаотическом режиме движения. Спектральный анализ является эффективным для выявления периодических и квазипериодических движений. [c.448] Здесь U x, у) и V х, у) — компоненты поля скорости, оцениваемые в точке, в которой находится рассматриваемая система. [c.448] Если значение Л положительно, то две близлежащие траектории в среднем расходятся, движение системы является хаотическим. Если значение Л стремится к нулю или отрицательному значению, то в этом случае траектории оказываются регулярными. [c.448] При хаотическом режиме движения начально компактная область отмеченной пассивной жидкости может растянуться со временем и заполнить достаточно большую область течения. Если считать, что границы выделенной области могут быть сформированы последовательным соединением пассивных жидких частиц (маркеров), то анализ процесса перемешивания можно свести к анализу изменения длины контура, охватывающего исследуемую область течения. Если пассивные жидкие частицы движутся хаотично, то длина границы области увеличивается экспоненциально во времени. С другой стороны, если длина контура увеличивается линейно со временем или остается неизменной, то в этом случае перемешивание является регулярным [17]. [c.449] Однако анализ изменения длины контура встречает определенные трудности. С течением времени один фрагмент контура может растягиваться сильнее, чем другие [7, 16, 17], и последовательное соединение маркеров не позволяет сформировать границы исследуемой области течения для текущего момента времени. Увеличение начального количества маркеров, формирующих контур, как правило, не решает проблемы для сложных режимов перемешивания. В связи с этим необходимо применять специальные методы исследования. [c.449] Ажоритм, связанный с параметризацией исходного контура, позволяет достаточно эффективно изучать кинематику перемешивания для сложных режимов течения жидкости, которые сопровождаются сильным растяжением (сжатием) исходного контура с течением времени. Однако с практической точки зрения, в задачах, в которых определение поля скорости сопровождается сложными и продолжительными вычислениями, этот алгоритм оказывается малоэффективным по причине частого возвращения к начальным условиям. [c.450] С этих позиций более эффективным методом для анализа процесса адвекции пассивных жидких контуров в известном двухмерном поле скорости является метод кусочной сплайн-интерполяции [2]. Этот метод тоже относится к параметрическим. В качестве параметра кривой используется ее длина для текущего момента времени от произвольно выбранного первого маркера. Для каждого момента времени все координаты используемых маркеров описываются интерполяционной формулой. Интерполяция по небольшому количеству узловых точек (значения координат используемых маркеров) на текущем интервале и объединение их в общую интерполяционную функцию позволяет в точках сопряжения избавиться от разрывов функции [9]. Понятно, что в этих точках испытывают разрыв только высшие производные. [c.450] Зм — неизвестные коэффициенты, М — число узлов (маркеров) интерполяционной функции. Для однозначного определения коэффициентов интерполяционного многочлена добавляются два условия на концах исследуемого отрезка, отвечающие за равенство первых производных на концах интерполируемого отрезка [2]. Аналогично строится интерполяционная функция для у(г). [c.451] Для описания кривой в начальный момент времени обычно используют эквидистантно расположенные маркеры. Со временем расстояние между ними меняется, и расположение узлов для сплайн-интерполяции становится неэквидистантным. Использование интерполяции дает возможность вычислять дополнительные координаты маркеров с приблизительно равномерным их распределением вдоль исследуемого контура. Обычно координаты первого и последнего маркеров при описании замкнутой кривой совпадают. [c.451] В процессе перемешивания линии могут испытывать значительные изломы и изгибы, в результате которых на непрерывной линии появляются фрагменты с большой кривизной. Интерполяция таких участков сплайн-функциями приводит к появлению больших интерполяционных ошибок, поскольку функции Х 1) и 1) (или обе вместе) в областях излома претерпевают излом. В этой связи в предлагаемом методе предусмотрен анализ кривой на изломы. Дальнейшей интерполяции подвергаются только гладкие отрезки от первого излома до следующего за ним и т.д. вплоть до конца интерполируемой линии. [c.451] Метод кусочной сплайн-интерполяции позволяет анализировать процессы перемешивания на достаточно больших временных интервалах. Этот метод, наряду с методом сечений Пуанкаре, позволяет выделить те области течения, в которых исследуемая область подвергается интенсивному растяжению. Однако оба метода не позволяют изучить структуру хаотической области, проявляющей интенсивное перемешивание. Хаотическая зона движения исследуемого контура может содержать как области интенсивного, так и зоны слабого перемешивания, в которой контур подвергается простому переносу (дрейфу). Для того, чтобы изучить структуру хаотической зоны, можно воспользоваться построением локальных карт растяжения пассивных контуров [2]. [c.451] Однако исследования [2] показывают, что локальные карты растяжений оказываются неэффективными при анализе регулярных режимов перемешивания, поскольку в этом случае растяжение контура определяется, главным образом, относительным пространственным положением близлежащих маркеров. Другими словами, множители в скобках (3.10) оказываются большими по сравнению со значением экспонент. [c.453] О Dn 1. В общем случае этот параметр носит случайный характер в указанной выборке п = 1,. .., N. Здесь и далее величины в скобках означают усреднение по всем выделенным подобластям течения. [c.453] Такая плотность размешивания может использоваться в качестве контроля вычислений для несжимаемых течений жидкости. [c.453] Анализ, проведенный в работах [7, И, 12], показывает, что система уравнений, описывающая эволюцию трех, а в некоторых случаях и четырех, точечных вихрей при наличии определенной симметрии, является интегрируемой. Это означает, что траектории вихрей представляют простые пространственные кривые и в общем случае могут быть представлены аналитически. Увеличение числа вихрей в системе приводит к значительному усложнению траекторий движения. Это значит, что движение окружающей жидкости (маркеров) даже в достаточно простых вихревых системах может оказаться сложным. Такое движение жидкости приводит к интенсивному (хаотическому) перемешиванию окружающей вихри пассивной жидкости. [c.454] Вернуться к основной статье