ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы А. А. Гуржий, В. В. Мелешко, Г. Я. Ф. ван Хейст. Режимы хаотического перемешивания жидкости в круге парой точечных вихрей из "Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей " Заметим, что по условию задачи интеграл (3.7) рассчитывался для ненулевых значений а = кд к = 1,. .., N — 1), а при а = О этот интеграл расходится. При выделении из (3.7) особенности в пределе при а О авторам [12] удалось установить связь с интегралом (3.5), который как в (3.3) и (3.4) можно рассматривать как конечную часть (3.7). Как и в [5], в [12] были определены асимптотики для больших и малых значений безразмерного шага т, которые более громоздки и также не работают от 0.5 до 3. По для тестирования других методов расчета важнее то, что значения ] были рассчитаны с точностью до шестого знака и затабулированы в табл. 1 из работы [12] при а = п/2,2тг/3, тг для 21-го значения т. [c.400] Таким образом, процедура вычисления кинематических характеристик течения, индуцированного винтовыми вихревыми нитями, сводится к вычислению главной части записанной через элементарные функции, причем информацию о кручении вихрей явно содержат сами особенности и их коэффициенты в (3.9). Поэтому для решения задачи представление рядов (2.1) через (3.9) более просто и эффективно даже с добавлением (3.11), чем подходы [5, 10, 12]. Дополнительно заметим, что при т оо, когда винтовая нить распрямляется и можно перейти к плоскому вихрю, коэффициенты стремятся К нулю И решение полностью совпадает с плоским случаем, т. е. для поля скорости оно описывается полюсом, а для функции тока — логарифмом. [c.402] В результате формула (4.2) имеет намного более простой вид, чем асимптотики из [12], причем она может быть использована для всех значений т и любого числа вихрей в системе, допускаемыми предположениями задачи (см. введение). [c.405] Анализируя (5.2) при разных значениях шага т, были определены неустойчивые моды (рис. 6), которые оказались более реалистичными для анализа существования равновесных конфигураций реальных вихревых структур, чем решение для системы из точечных вихрей [И]. С целью проведения сопоставления между системами с разным числом вихрей для сохранения суммарной интенсивности в системе размер вихрей выбирался так, чтобы суммарная площадь сечений ядер вихрей была одинаковой, т. е. е = 0.15л/]У. В результате заметим, что учет винтовой формы вихрей с уменьшением их шага приводит к потере устойчивости вихревыми системами все для меньшего и меньшего их числа, а при т 1.4 устойчивые конфигурации из винтовых вихрей отсутствуют полностью. Качественно это согласуется с результатами визуальных наблюдений и снимет отмеченное во введении противоречие их сравнения с данными теории равновесия точечных вихревых систем. Более того, экспериментальные результаты работы [3] позволяют провести и количественное сравнение. В [3] описана двойная вихревая структура N = 2 с безразмерным шагом т = 1.45. Этот режим хоть и близок к границе неустойчивости (см. диаграммы рис. 6), но является еще устойчивым, т.е. такая вихревая пара существовать может. А близость ее параметров к границе неустойчивых режимов косвенно подтверждается тем, что получить ее в эксперименте было очень трудно, требовалась тонкая регулировка экспериментальной установки и режимных параметров течения для получения вихревой пары с параметрами, обеспечивающими ее устойчивой существование. [c.412] Как дополнительный промежуточный результат для угловой скорости вращения системы из N винтовых вихрей, впервые получено алгебраическое представление, позволяющее проводить расчеты с высокой точностью во всем диапазоне изменения винтового шага. Полученная новая формула имеет более простой вид, чем известные асимптотики. [c.412] Работа финансировалась в рамках проектов ИНТАС 00-00232 и РФФИ 01-01-00899. [c.413] Эта статья в основном носит методический характер. В ней мы систематизируем основные результаты по движению точечных вихрей вне и внутри круговой области, рассматривая интегрируемые случаи, вопросы устойчивости, а также более общую хаотическую динамику, возникающую при добавлении однородного набегающего потока. Здесь мы используем методы качественного анализа, развитие в работах [1, 2]. [c.414] Позднее, в 1931 году, Т.Хавелок в замечательной работе [13] продолжил исследования устойчивости стационарных конфигураций вихрей внутри и вне круга. Он поставил и полностью исследовал вопрос о линейной устойчивости полигональных конфигураций вихрей равных интенсивностей (когда вихри расположены в вершинах правильного многоугольника) как внутри, так и вне круговой области. Это исследование обобщает анализ устойчивости аналогичных конфигураций вихрей на плоскости, выполненный еще Дж. Дж. Томсоном и уточненный для случая семи вихрей Т. Хавелоком в той же работе [13] (в расчетах для правильного семиугольника у Томсона была допущена ошибка). [c.415] Из общих работ по движению точечных вихрей в жидкости, ограниченной абсолютно гладкими стенками, следует также отметить работу Линя [24], в которой, в частности, показано, что уравнения движения вихрей внутри и вне кругового цилиндра являются гамильтоновыми с той же скобкой, что и в отсутствии цилиндра. Среди современных исследований движения вихрей внутри круга следует указать работы [5, 12, 16, 17]. [c.415] В данной статье мы рассмотрим несколько задач о движении точечных вихрей внутри и вне кругового цилиндра в наиболее общей постановке, когда циркуляция вокруг цилиндра не равна нулю. В первой части статьи выводятся гамильтоновы уравнения движения вихрей внутри и вне круговой области с циркуляцией. Здесь же приводится единственный дополнительный (наряду с гамильтонианом) интеграл движения полученных уравнений, позволяющий полностью проинтегрировать задачу двух вихрей. Во второй части статьи для полученных уравнений движения рассматриваются аналоги томсоновских конфигураций вихрей, представляющие собой полигональные конфигураций вихрей равных интенсивностей. Для них получены аналитические условия устойчивости в зависимости от числа вихрей и отношения радиусов конфигурации и цилиндра. В третьей части статьи рассматривается движение точечных вихрей вблизи кругового цилиндра в набегающем потоке. С помощью численного исследования отображения Пуанкаре показана неинтегрируемость уравнений движения двух вихрей в потоке. Описано также решение Фёппля и условия его устойчивости. [c.416] Нетрудно убедиться, что полученная таким образом функция тока удовлетворяет уравнению (2.1) и граничному условию (2.2). [c.417] Так же как и в случае движения вихрей внутри кругового цилиндра, для получения уравнений движения необходимо сначала найти полную функцию тока системы. В этом случае уравнения (2.1) и (2.2) определяют функцию тока жидкости с точностью до слагаемого, задающего некоторое внешнее стационарное потенциальное течение жидкости. В случае отсутствия стационарного течения на бесконечности функция тока должна быть постоянна. Для стационарного течения она должна удовлетворять граничному условию (2.2), а также некоторым дополнительным граничным условия на бесконечности, связанным с особенностями конкретной задачи. [c.418] Потенциал (2.10) определен с точностью до слагаемого, задающего некоторое внешнее стационарное потенциальное течение жидкости. Наиболее простой случай такого течения — равномерно и прямолинейно набегающий из бесконечности поток, обтекающий цилиндр — будет рассмотрен в п. 4 настоящей статьи. [c.419] Замечание 1. Заметим, что уравнения движения (2.7) и (2.11) не получаются друг из друга с помощью инверсии (2.3), то есть траектории движения вихрей внутри и вне цилиндра не являются подобными относительно этой инверсии. [c.419] Существование этого интеграла является следствием инвариантности уравнений относительно поворотов вокруг центра круга, сохранившейся после добавления цилиндрической границы. Наличие интеграла (2.13) обусловливает полную интегрируемость (по Лиувиллю) задачи о движении двух вихрей внутри и вне цилиндрической области. Этот интеграл пропадает при малом (например, эллиптическом) искривление границы области, и задача двух вихрей становится уже неинтегрируемой. [c.419] Под устойчивостью томсоновских конфигураций в данном случае понимается устойчивость по Раусу (см., например, статью [19] в этом сборнике), согласно которой конфигурация является устойчивой, если устойчива (по Ляпунову) соответствующая ей неподвижная точка приведенной системы после исключения циклической переменной, отвечающей интегралу момента (2.13). В наших обозначениях циклическая переменная — поэтому из рассмотрения необходимо исключить соответствующие нулевые собственные числа А . [c.421] Критические значения радиусов томсоновских конфигураций внутри (г ) и вне (г ) круга, при которых происходит смена устойчивости, для разных N приведены в таблице 3. При N = 2... 6 конфигурация внутри цилиндра, радиус которьк меньше критического значения г , является устойчивой в линейном приближении. Если же радиус конфигурации больше критического значения, то она неустойчива. Для движения вихрей вне цилиндра все происходит наоборот. Конфигурации с радиусами меньшими критического являются неустойчивыми, а с большими — устойчивыми в линейном приближении. В случае движения семи и более вихрей как внутри, так и вне цилиндра, при любом конечном значении радиуса конфигурации, одно из собственных чисел имеет действительную часть, и конфигурации являются неустойчивыми при всех радиусах уже в линейном приближении. [c.422] Замечание 2. С точностью до третьего знака указанные критические значения радиусов совпадают с найденными Т. Хавелоком [13]. Дальнейшее несовпадение, наверное, следует объяснить неточностью его ручных вычислений. [c.422] Замечание 3. Для критических значений радиусов (гм) сделать заключение об устойчивости по линейному приближению невозможно. В этом случае необходимо исследовать нелинейную устойчивость [3]. [c.423] Вернуться к основной статье