ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы В. Л. Окулов. Обобщение задачи устойчивости полигональной конфигурации точечных вихрей на случай винтовых вихревых нитей из "Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей " Выводятся уравнения движения для бесконечных двоякопериодических конфигураций точечных вихрей. При выводе выражения для определения энергии произвольной вихревой решетки находится и используется функция Гамильтона, обобщающая функцию Кирхгофа для конечных конфигураций. Рассчитывается энергия решетки с периодическими дефектами. Доказывается существование некоторых отдельных неподвижньк решеток и приводятся интегральные кривые для движения некоторых двух- и трехвихревых решеток. [c.336] Ранее были разработаны методы для расчета этой энергии или двумерного потенциала Эвальда более рационально, нежели при помощи медлен-носходящейся суммы значений функции в точках решетки. Некоторые из этих методов зависят от особых симметрий решетки [5] -[10]. Ткаченко [4], непосредственно проинтегрировав выражение для плотности энергии, нашел энергию простой вихревой решетки произвольной формы и показал, что она минимальна для треугольной решетки. Не так давно Кэмпбелл и другие [6] вывели выражение для энергии произвольных решеток, содержащих более одного вихря на единичную ячейку, путем обобщения метода Глассера [9] суммирования значений функции в точках решетки. Эта энергия задается при помощи быстросходящихся бесконечных произведений. [c.337] В данной работе выведены уравнения движения для произвольной вихревой решетки (включая предельный случай вихревой дорожки) и предложена новая формула для энергии решетки. Эволюционные уравнения, записанные через тета-функции Якоби, получены путем суммирования отдельных вихревых составляющих по всей решетке. Поскольку получившиеся ряды не являются абсолютно сходящимися, результат зависит от порядка суммирования. [c.337] В п-й частичной сумме учитывается влияние всех вихрей, находящихся на расстоянии не более п от начала координат. Это условие равносильно требованию равномерного вращения простой решетки. [c.337] В результате получаем конечномерную динамическую систему, имеющую гамильтонову структуру, которая аналогична структуре конечновихревой конфигурации. Такая структура позволяет весьма легко получить компактное выражение для энергии произвольной вихревой решетки. Энергия зависит от формы и плотности решетки, а также от циркуляции вихря и его положения в решетке. [c.337] В разделе 2 при помощи эллиптических функций Вейерштрасса выводятся динамические уравнения решетки. В разделе 3 представлен гамильтониан для этих уравнений и рассчитана энергия произвольной вихревой решетки. В полученной формуле энергия задается через тета-функции, что удобно как для численных, так и для теоретических преобразований. В качестве примера рассчитывается изменение энергии решетки, вызванное включением периодических дефектов. Неподвижные вихревые решетки рассматриваются в разделе 4, а примеры движения решетки с двумя или тремя вихрями на единичную ячейку представлены в разделе 5. [c.337] Поле скоростей (2.1) определяет скорость отдельных вихрей, поскольку при движении вихревые линии переходят в вихревые линии. Однако сумма по Ь не является абсолютно сходящейся, то есть результат зависит от порядка суммирования. Следовательно, надо договориться о порядке суммирования. [c.338] Однако использование различных правил суммирования приводит к тому, что суммы различаются только линейными слагаемыми, поскольку вторая производная выражения (2.1) есть абсолютно сходящийся ряд. [c.342] Для каждой решетки можно выбрать такие периоды, чтобы параметр решетки т имел мнимую часть У вследствие чего ряд (3.3) будет быстро сходиться для г, лежащих в периодическом параллелограмме, расположенном симметрично относительно начала координат. [c.343] Поскольку уравнения движения зависят только от положений г, . .., определенных по модулю Ь, гамильтониан также должен обладать таким свойством. Это легко проверить при помощи преобразований дг z + 1) = = 1 г + т) = ехр(-гтг(т + 2г)). [c.343] Используя формулу (3.3), легко рассчитать коэффициент, содержащий тета-функции. Заметим, что при т гею пределом функции (3.6) являются обычные уравнения движения для вихревых дорожек [2]. [c.343] Можно непосредственно показать, что значение Е, определенное таким образом, отличается от (3.9), наличием интегралов не зависящих от положений Zj. [c.345] Приходим к заключению, что, как и в случае конечновихревых конфигураций, гамильтониан Н определяет энергию взаимодействия или ту часть энергии, которая зависит от положения решеток. Следовательно, полная кинетическая энергия отличается от Н функцией, зависящей от периодов решетки и 1,и 2 И радиуса е. Для простой решетки это отличие можно найти путем непосредственного интегрирования [4]. Проще использовать метод перегруппировки вихрей, а также симметрию. [c.345] Выражение (3.17) согласуется с выражением, определенным Ткаченко [4] для энергии простой решетки (несмотря на то, что использовались различные определения i i). [c.346] Теперь, используя аналогичную перегруппировку, легко найти энергию для периодического параллелограмма, содержащего несколько вихрей. Вихри циркуляции Tj, расположенные в Zj, перемещаем в диск радиуса 5 с центром M/Y . Изменение энергии равно АН, а энергия вне диска равна (Е Г,-mi, 1,5). [c.346] Это предельное значение представляет собой функцию периода Ь минус энергия взаимодействия вихря, смещенного на г, и вихря, расположенного в начале координат. Формулу (3.23) можно сравнить с результатом проведенного ранее (и требующего большого количества вычислений) исследования простых решеток с периодическими вакансиями [11]. Следует заметить, что решетки с комбинацией дефектов решетки указанного выше типа имеют отношение к изучению устойчивости вихревых решеток [7, 3]. Папример, при помощи простых вычислений можно показать, что энергия малых дефектов может быть отрицательна только в том случае, если форма решетки такова, что выполняется неравенство а . [c.348] Стационарной является такая конфигурация решетки, в которой все скорости вихрей во вращающейся системе координат обращаются в нуль, то есть в неподвижной системе координат находится в относительном равновесии. Нахождение таких конфигураций соответствует решению системы уравнений Уг =. .. = Уп = О или определению критических точек гамильтониана (3.1). [c.348] Если полная циркуляция обращается в нуль, скорости вихревой решетки задаются относительно движущейся системы координат. Критические точки гамильтониана Н соответствуют не состояниям равновесия, а конфигурациям, находящимся в состоянии покоя в данной системе координат. Поскольку члены, отвечающие за вращение, обращаются в нуль, можно применить методы алгебраической геометрии и определить общее количество конфигураций, находящихся в состоянии покоя в некоторой движущейся системе координат [12]. [c.348] напротив, все циркуляции положительны, используя идею Паль-мора [13], можно найти нижнюю предельную оценку числа относительных состояний равновесия. Гамильтониан стремится к нулю на диагонали А, а все критические точки гамильтониана Н лежат на компактном подмножестве пространства — А. Если гамильтониан представляет собой функцию Морса (все критические точки являются невырожденными), то нижнюю предельную оценку числа этих критических точек и их индексов можно рассчитать, используя числа Бетти пространства — А. [c.348] Вернуться к основной статье