ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кевин А. ОНейл. О гамильтоновой динамике вихревых решеток из "Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей " Настоящая статья организована следующим образом. В разделе II изложено общее определение стационарного движения динамической системы с группой симметрии. Далеко идущие обобщения и развитие теории устойчивости для стационарных движений консервативных (гамильтоновых и лагранжевых) систем читатель найдет в работах [4, 35, 43, 45]. [c.244] Мы приводим здесь общее определение устойчивости стационарного движения — по сути, нужно решить, по отношению к каким переменным стационарное движение может быть устойчиво, и исключить те переменные, по отношению к которым оно заведомо неустойчиво. [c.244] Обычно само понятие стационарного движения рассматривается лишь для гамильтоновой системы. Следуя Раусу, его обычно определяют как движение, при котором изменяются лишь циклические координаты, а остальные координаты, называемые позиционными, остаются постоянными. Циклические координаты оказываются, попросту, линейными функциями времени, а отвечающие им циклические импульсы, также постоянны. В теории устойчивости стационарньк движений, развитой Раусом, учитывается, что относительно циклических координат такие движение всегда неустойчивы (возмущения растут линейно со временем). Таким образом, речь должна идти об устойчивости относительно части переменных — позиционных координат и импульсов. Такого рода устойчивость мы называем устойчивостью по Раусу. Вопрос об устойчивости по отношению к циклическим импульсам должен быть рассмотрен особо. Как показали Раус и его последователи, при естественных дополнительных условиях (хотя и не всегда) устойчивость относительно циклических импульсов следует из устойчивости по Раусу. Поэтому в приложениях циклические импульсы обычно не требуют дополнительных рассмотрений. Именно так обстоит дело и в проблеме данной статьи. [c.244] В конце раздела II мы рассматриваем гамильтоновы системы и показываем, что в этом случае общая теория соответствует теории Рауса. [c.244] Мы сочли нужным включить этот раздел и потому, что с определением устойчивости перманентного вращения уже возникали недоразумения, и потому, что надеемся на дальнейшие приложения общей теории, в частности, и в проблеме перманентных вращений сложных вихревых систем. [c.244] В разделе ША выписаны два уравнения стационарных движений, отвечающих соответственно трансляции и вращению — однопараметрическим подгруппам группы С. [c.245] Анализ первого из них приводит к выводу, что стационарный режим, отвечающий группе трансляций и отличный от равновесия, может существовать лишь при условии, когда суммарная интенсивность вихрей равна нулю. Стационарное же вращение правильного вихревого многоугольника в случае одинаковых интенсивностей отвечает группе вращений. Исследованию его устойчивости и посвящен раздел 1ПВ. [c.245] Теорема 3.1 обосновывает метод линеаризации в задаче устойчивости вихревого п-угольника, когда пфТ. [c.245] В теореме 3.2 устанавливается центральный результат настоящей работы — устойчивость вихревого семиугольника. Ее доказательство потребовало учета слагаемых ряда Тейлора относительного гамильтониана до четвертого порядка включительно. [c.245] В Дополнении А приведены известные результаты о циркулянтных и косоциркулянтньк матрицах, использованных в данной работе. В Дополнении С получена операторная форма разложения относительного гамильтониана до четвертого порядка включительно в окрестности стационарного режима для любого п 2. Координатной же форме такого представления в случае п = 7 посвящено Дополнение Е. [c.245] Чтобы облегчить читателю ориентировку в цитируемой литературе, в Дополнении В обсуждаются парадоксы и недоразумения, сопровождающие задачу устойчивости перманентного вращения правильного вихревого многоугольника. [c.245] В Дополнении В мы рассмотрели вопрос о глобальной разрешимости задачи Коши для уравнений Кирхгофа. Поскольку гамильтониан сингулярен, доказательство должно включать не только априорную оценку сверху, гарантирующую невозможность ухода вихрей на бесконечность за конечное время, но также исключать возможность слияния вихрей. В случае, когда интенсивности одного знака, и то и другое выводится при помощи классических интегралов Кирхгофа. [c.245] При корректуре русского перевода мы включили в статью Дополнение Р, посвященное новой работе Д. С. Шмидта, продолжающей работу [26] и статье А. В. Борисова, А. А. Килина. [c.245] Обычно понятие стационарного движения вводится и изучается для консервативных — лагранжевых или гамильтоновых систем. Суть дела, однако, лучше проясняется общим определением. [c.246] Пусть G — группа Ли, и L g Lg — изоморфизм группы G на некоторую подгруппу L G) группы диффеоморфизмов Diffl/ пространства V. [c.246] ДЛЯ всех й 1,5 2 е С е — единица группы С. [c.247] 5) следует, что для любого д С ш любого решения и Ь) = уравнения (2.1) с начальной точкой V V вектор-функция ид 1) = = Ьди Ь) = LgNtV — также решение с начальной точкой ЬдУ. Это означает, что преобразования Ьд переводят движения в движения. [c.247] Через А = обозначим алгебру Ли группы С. Каждый элемент а е А однозначно определяет однопараметрическую подгруппу д т) = ехр та, где ехр А С — экспоненциальное отображение, а — генератор подгруппы д(т). При этом д(0) = е, д(0) = а и д Ь + т) = д Ь)д т) для всех i и т. Однопараметрические подгруппы коммутативны. [c.247] ДЛЯ некоторых а е А и v е 1/. Иными словами, стационарное движение осуществляется преобразованиями некоторой однопараметрической подгруппы bg(i), g t) = expia, группы L G). [c.248] Если V е 1/ и а е А таковы, что выполнено уравнение (2.15), то стационарное движение получается по формуле (2.10). [c.249] Вернуться к основной статье