ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Куракин, В. И. Юдович. Устойчивость стационарного вращения правильного вихревого многоугольника из "Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей " Как было замечено в 3, для системы трех вихрей на плоскости существует вращающаяся система координат, в которой все вихри движутся по замкнутым кривым. Для задачи трех вихрей равных интенсивностей оказывается, что справедливо существенно более сильное утверждение, которое приводит к существованию, так называемых относительных хореографий. [c.121] Подобного рода решения для задачи трех тел в небесной механике были найдены недавно в работах [50, 125] и получили название относительных хореографий. Если траектория замкнута в неподвижном пространстве такие решения называют абсолютными хореографиями или просто хореографии. [c.122] Таким образом, в задаче трех вихрей на плоскости все движения, удовлетворяющие условию (7.3), являются относительными хореографиями. Па бифуркационной диаграмме (см. рис. 41) условию (7.3) соответствует область между томсоновской и коллинеарной бифуркационными кривыми. [c.122] Доказательство теоремы разобьем на несколько этапов. [c.122] Первая часть предложения следует из соотношений (7.4), выражающих любые две стороны через одну при фиксированных значениях интегралов h и D. Кроме того, из вида фазового портрета (см. рис. 40 За) следует, что при условии (7.3) ориентированная площадь А сохраняет знак в процессе движения, поэтому треугольник вихрей не меняет ориентацию. [c.124] Таким образом в моменты времени ti и 2 вихри образуют равные и одинаково ориентированные треугольники с точностью до циклической перестановки вершин. Поскольку все вихри одинаковы, время 2 — ii не зависит от расстановки вихрей (с заданными номерами) в вершинах треугольника, и, очевидно, оно может быть лишь кратным трети полного периода движения, т. е. [c.124] Аналогично можно показать, что для всех остальных движений к 1)754), за исключением ассимптотических, можно выбрать систему координат, в которой два вихря движутся по одной и той же замкнутой кривой, а третий — по другой. [c.125] Для случая сферы, обобщая рассуждения предыдущего раздела, также несложно доказать следующую теорему. [c.125] Теорема 7.2. Для всякого решения задачи трех вихрей, для которого интегралы движения к, О (7.2) принадлежат области С см. рис. 42), существует (вращающаяся) система координат, в которой вихри движутся по одной замкнутой кривой см. рис. 43 а - е). [c.125] Если к, О е С2 см. рис. 42), то существует подвижная система координат, в которой два вихря движутся по одной замкнутой кривой, а третий — по другой см. рис. 43/ g). [c.128] В отличие от задачи трех вихрей, система четырех вихрей (равных интенсивностей) на плоскости не является интегрируемой, поэтому ее решения не допускают достаточно полного описания. Методом 3 (см. раздел Абсолютное движение и адвекция ) можно показать, что периодическим решениям приведенной системы соответствуют такие движения вихрей в абсолютном пространстве, что в некоторой вращающейся системе координат все вихри движутся по замкнутым кривым. Если эти кривые для каждого вихря одинаковы и переводятся друг в друга поворотом относительно центра завихренности, то существует также вращающаяся система координат, в которой вихри движутся по одной и той же кривой, т. е. образуют относительную хореографию. Кроме этого в задаче четырех вихрей возможны также несвязные относительные хореографии, когда вихри парами движутся по двум различным замкнутым кривым, когда три вихря движутся по одной замкнутой кривой, а четвертый по другой, когда вихри движутся по трем различным замкнутым кривым и самый крайний случай, когда каждый вихрь движется по своей, отличной от других замкнутой кривой. [c.128] При достижении границы (А = 0) точка отражается от нее и движется по той же траектории в обратном направлении, при этом происходит смена ориентации площади параллелограмма. [c.129] Прямая ж = О на рис. 45 соответствует случаю, когда параллелограмм становится ромбом, а у = О — параллелограмму с равными диагоналями. Точка X = у = О соответствует квадрату, т. е. томсоновской конфигурации. [c.129] Пользуясь методом предыдущего раздела (см. предложения 7.1, 7.2 и теорему 7.1), несложно показать, что этим решениям приведенной системы соответствуют относительные конфигурации в абсолютном пространстве (см. рис. 46). Если Е Ес, то траектория достигает границы А = О, а хореографии становятся несвязными. [c.131] Кроме этих периодических решений на фазовом портрете выделяются также периодические решения, рождающиеся вблизи особенностей, в которых слиты вместе три вихря. Эти периодические решения приводят к несвязным относительным хореографиям, в которых три вихря движутся по одной замкнутой кривой, четвертый — по другой (см. рис. 48). [c.133] Помимо этого, на фазовом портрете существуют дополнительные (ко-ротко)периодические решения приведенной системы, которые пока плохо изучены. Им соответствуют несвязные относительные хореографии, некоторые из которых приведены на рисунке 49. [c.133] Замечание 1. Укажем также начальные условия для пары периодических решений в случаях хореографий приведенных на рис. 47, 48. Остальные периодические решения получаются продолжением по энергии. [c.134] Указанные решения задачи трех,четырех вихрей имеют интересные аналогии в задаче трех, четырех и п тел из небесной механики. В 1975 г Хенон в [101] указал периодические орбиты задачи трех тел с равными массами, рождающиеся из хорошо известных решений Шубарта (для которых три одинаковых тела периодически движутся по одной прямой). При этом тела во вращающейся системе координат описывают различные замкнутые кривые (на современном языке, образуют несвязные относительные хореографии). [c.134] Отметим кстати, что до сих пор не исследована возможность существования хореографий в небесной механике в пространствах постоянной кривизны (S — трехмерная сфера, — пространство Лобачевского). Как известно [10], в этом случае также имеются эйлеровы и лагранжевы стационарные конфигурации, но они существенно более разнообразны. [c.135] Вернуться к основной статье