ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Алексеев. Финальные движения в задаче трех тел из "Лекции по небесной механике " В результате недостаточно строгих исследований Ж. Шази в науке широко распространилось убеждение, что захват практически невозможен. Это означает следующее если захват и возможен, то мера того множества точек, которое в фазовом пространстве системы трех тел изображает начальные состояния, приводящие к захвату, равна нулю. Несмотря на такое состояние вопроса, акад. О.Ю.Шмидт, на основании индуктивных небесно-механических и космогонических соображений, пришел к выводу, что в случаях, когда Н О, захват возмо кен и имеет положительную вероятность. Не имея в своем распоряжении математического доказательства этого факта, О.Ю.Шмидт в основу своих разнообразных космогонических исследований положил смелую рабочую гипотезу о возможности захвата, осуществляющегося с положительной вероятностью. В 1947 г. появилась работа О. Ю. Шмидта, специально посвященная вопросу о возможности захвата, в которой пересматривается и существенно продвигается эта проблема. В этой работе доказано существование и положительная вероятность ослабленной формы захвата, однако именно той, которая имеет значение в космогонии и в статистической небесной механике. Определение захвата, рассмотренного О. Ю. Шмидтом, может быть сформулировано следующим образом. [c.116] Возможность ослабленного захвата О.Ю.Шмидт доказал, непосредственно подобрав начальные условия, при которых он осуществляется. [c.117] Шмидт рассматривал движение трех тел в одной плоскости, с одинаковыми массами, равными массе Солнца, принятой за единицу. Единицей расстояния служила астрономическая единица длины, а единицей времени год, деленный на 2тг. Точка Ро бралась неподвижной, координаты XI, ух точки Р1 и Х2, У2 точки Р2 задавались относительно осей с центром в Ро. Начальные данные в момент = О таковы, что невозмущенной орбитой точки Рх под притяжением Ро был бы эллипс с большой полуосью, равной 200 астр. ед. и эксцентриситетом Уз, а невозмущенной орбитой точки Рз гипербола. В этом случае движение трех тел было изучено от момента времени = —129764 до = -Ь8000 численным интегрированием проблемы трех тел. Предварительные вычисления были сделаны лично О. Ю. Шмидтом, а затем точные и подробные вычисления были выполнены в Геофизическом институте Академии наук СССР под руководством Н. Н. Парийского. Начальные положения и скорости тел Ро и Р1, а также их положения и скорости для крайних моментов времени сведены в табл. 1. [c.117] Пользуясь данными табл. 1, легко установить, что в рассматриваемом случае осуществляется ослабленный захват. Из существования хотя бы одного примера осуществления ослабленного захвата и из общих свойств решений дифференциальных уравнений следует, как это было указано в работе О. Ю. Шмидта, что множество начальных данных, приводящих к подобному захвату, имеет положительную меру, а не меру нуль. [c.117] Мы будем исходить из следующих, принадлежащих автору, теорем, громоздкие и длинные доказательства которых отложим до полной публикации. [c.118] Определение 3. Мы будем говорить, что на временном отрезке [ 1, 2] между телами Ро и Рх осуществился захват специального типа, если в момент выполняются условия теоремы 1, а в момент 2 — условия теоремы 2. [c.118] Легко убедиться, что захват специального типа есть частный случай захвата в обычном смысле, т. е. в смысле определения 2. [c.119] Теорема 3. При движении трех тел под влиянием взаимных притяжений захват возможен. [c.119] Шмидтом, осуществляется не только ослабленный захват, по и захват специального типа, а следовательно, и обычный захват в смысле определения 2. Теорема доказана. [c.119] Теорема 4. Мера множества ii тех точек в фазовом пространстве системы трех тел, которые изображают начальные состояния системы, приводящие к захвату, не может быть равной нулю. [c.119] Так как Г2, г, г, р, р непрерывные функции от координат фазового пространства, то множества Е w e суть множества открытые. [c.119] Я пользуюсь случаем, чтобы выразить глубокую признательность московским ученым и моим учителям акад. О. Ю. Шмидту, чл.-корр. АН СССР В. В. Степанову, чл.-корр. АН СССР П. С. Александрову, чл.-корр. АН СССР М. Ф. Субботину и проф. А. А. Маркову. Своим интересом к работе и ценными советами они мне оказали неоценимую услугу. [c.120] В системе имеет место захват, если при Ь —) —ос все Щк —) оо, а при i +00 Го1 с, П2, Г02 00. [c.121] В системе имеет место обмен, если при t — +оо го2 с, пг, Го2 + 00, а при 1 + -00 Го1 с, Г12, Гог + оо. [c.121] В заметке строятся примеры обмена и захвата в случае ТОО 3 ТО1, Топ шг. Для простоты считается то = 1, То1 = ш,2 = т. Результаты верны при а тх/тг А. Доказывается, что в фазовом пространстве множества начальных данных, приводящих к захвату или обмену (как при положительной, так и при отрицательной константе энергии), имеют положительную меру. Тем самым окончательно опровергается утверждение Шази [4] о невозможности захвата и обмена. Методы, применяемые в заметке, не используют численного интегрирования, как это делал Беккер [1] для обмена и О.Ю.Шмидт [5], [3] для захвата. Использование малости т позволяет обойтись без больших скоростей, что было существенно в работе К. А. Ситникова [2]. В частности, именно это открывает возможность построения обмена при отрицательной константе энергии. [c.121] Когда т О, Ь - уже не будут интегралами движения, но, тем не менее, иногда они и в этом случае определяют поведение Пк при оо. [c.122] Доказательство основывается па том, что в силу леммы 1 и условий а) или б) для то Тоо, ж — жо ( о и достаточно больших i в точке удовлетворяются условия леммы Г. Ф. Хильми [3] в случае а) или леммы К. А. Ситникова ([2], теорема 2) в случае б). Приводим их формулировки. [c.122] Следствие. Если регулярно для, всех 1, то характер / ж при достаточно малых гп будет одинаков при I ос. Поэтому захват или обмен нужно искать в окрестности траектории З х с точками нерегулярности. [c.123] Замечание. Вопрос о возможности установить аналог теоремы 1 для случая в) Л О, О очень интересен, но значительно сло кнее. [c.123] Следующая теорема является основной в нашем методе построения примеров захвата и обмена. [c.124] Вернуться к основной статье