ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пульсирующая одномерная потенциальная яма из "Лекции по небесной механике " В силу А и Б график решения х 1) уравнения (1) как функции от i вогнут вниз при ж О и вверх при ж О (рис. 21). Поэтому каждое решение уравнения (1) имеет хотя бы один нуль, а следовательно, каждая траектория фазового потока рассматриваемой задачи пересекает хотя бы один раз поверхность ж = 0. Ее мы и возьмем в качестве секущей. [c.74] Можно доказать (используя только А и Б), что в этом случае x(t) оо при t -Ьэо, даже если = 0. Если г + О, то решение называется гиперболическим, если = О — параболическим. Аналогия с небесной механикой (см. часть 1) очевидна. [c.76] Если же наступит момент, когда х обратится в нуль (ближайший к г такой момент на (г, +эо) мы обозначим далее символом Г+(г г)), то возрастание решения x t) сменяется убыванием и оно возвращается к значению ж = О в некоторый момент т (снова так мы обозначаем ближайший к г момент на (г, -Ьоо), когда. / (г ) = 0) (рис. 21). В фазовом пространстве соответствующая траектория возвращается на секущую поверхность (рис. 22), и, следовательно, mojkho определить функцию последования S равенством S vt) = (w r ), где v = х(т ) (знак минус появился в силу соглашения рассматривать лишь значения 0). [c.76] При t т все рассуждения повторяются решение может опять оказаться гиперболическим или параболическим или же вернется к пулю в некоторый момент г. В последнем случае на паре [vt) определено отображение 5 [vt) ( г ), где v = х т ), и т.д. При подходящих начальных условиях vt) решение x t) может иметь бесконечное число нулей, и стало быть, определены все степени отображения S. Стандартным в теории дифференциальных уравнений рассуждением, основанным на теореме единственности, можно убедиться в том, что пули решения не могут иметь точки накопления. [c.76] Таким образом, при выполнении условий А и Б решения уравнения (1) следующим образом классифицируются по их поведению при t 00. [c.76] Аналогичную классификацию можно провести и при t —ос. Соответствующие классы обозначаются теми же буквами, только с добавлением индекса минус В . Н и т.п. [c.77] В этом случае все нетривиальные решения усредненного уравнения (4) периодичны. [c.78] Если отвлечься от идей символической динамики, то наши результаты, касающиеся уравнения (1), относятся, с одной стороны, к поведению его решений при 1 сх , а с другой — к тому, в каких комбинациях могут сочетаться типы поведения при Ь — +оо и —оо, т.е. к аналогу проблем эволюции в небесной механике. Эти результаты получены при условии, что функция 5, кроме основных предположений А-В, удовлетворяет еще ряду дополнительных предположений. Говоря коротко, одностороннее поведение решений уравнения (1) оказывается аналогичным поведению решений усредненного уравнения (4), а двустороннее — нет в то время как у уравнения (4) тип решения при I +00 и при I —) —00 один и тот же, у уравнения (1) эти типы могут сочетаться произвольно. [c.78] Ь) равномерно О при х +оо, если J = оо. [c.78] Заметим, что если Я достаточно гладко, а мало, то, согласно теории Колмогорова-Арнольда-Мозера, множество ограниченных колеблющихся решений будет ие только не пусто, но и содержит внутренние точки. [c.81] Как уже отмечалось, предположения А-Е выбирались так, чтобы развиваемая теория была применима к одному частному случаю задачи трех тел, который будет рассмотрен в 3. Однако можно поставить целый ряд вопросов, остающихся пока открытыми, но несомненно представляющих интерес и с точки зрения общей теории нелинейных колебаний. [c.81] Вернуться к основной статье