ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача трех тел. Аналитические свойства решений из "Лекции по небесной механике " Инвариантный вектор I и является тем дополнительным первым интегралом, который является специфическим для ньютоновского закона взаимодействия ([4], 15). [c.33] Геометрическая интерпретация задачи Кеплера позволяет дать прозрачное истолкование употребляемых в небесной механике элементов средней, истинной и эксцентрической аномалиям и т.п. ([44]). Заметим еше, что + Щ равно эксцентриситету орбиты. [c.33] Задача о движении трех материальных точек под действием ньютоновских сил взаимного притяжения — задача трех тел — получила в математике, механике и астрономии широкую известность. Достаточно просмотреть посвященные этой задаче главы в книгах Уиттекера [12], Биркгофа [1], Зигеля [5], [6] и уже упоминавшиеся статьи Арнольда [18] и Смейла [31], чтобы убедиться в богатстве и плодотворности круга идей, так или иначе обязанных ей своим возникновением. [c.33] Вполне естественно раз уж не удается найти обш ее решение пытаться получить частные решения задачи трех тел, для которых интегрирование оказывается возможным, например за счет соображений симметрии. Легко убедиться в том, что система из гравитирующих материальных точек не может иметь состояния статического равновесия. Лагранжу и Эйлеру удалось, однако, показать, что возможно равновесие динамическое три тела находятся в точках с неизменными координатами, но в неинерциальной, равномерно вращающейся системе координат. Другими словами, каждое из тел совершает равномерное круговое движение вокруг общего центра масс, с одной и той же угловой скоростью. [c.34] Для решения Лагранжа три тела р, Р2 и рз находятся при этом в вершинах равностороннего треугольника. В Солнечной системе такую конфигурацию образуют довольно точно Солнце, Юпитер и каждый из астероидов так называемой Троянской группы. [c.34] Для решения Эйлера треугольник р1, р2, рз выро кдается, и все три тела находятся на одной прямой. Если массы тел различны, то существуют три класса таких решений в соответствии с тем, какое из трех тел находится между двумя другими. [c.34] Существуют и другие частные решения, в которых конфигурация трех тел остается все время подобной самой себе [11]. В одних, которые можно назвать лагранжевыми [67], треугольник р1, р2, Рз равносторонний, в других — эйлеровых [68] — все три тела лежат на одной прямой каждое из тел Рг движется вокруг общего центра масс по некоторому коническому сечению, возможно вырождающемуся в часть прямой. Далее мы увидим, что эти решения встречаются неожиданным образом в двух разных аспектах качественного анализа задачи трех тел. [c.34] Теорема Пенлеве ([45], [3], [5]). Если решение задачи трех тел является аналитической функцией I в интервале (О, 1о), но перестает быть таковым при t = Ьо ф ОС, то при t to — д либо все расстояния О, либо стремится к О лишь одно из них, а остальные два стремятся к конечному положительному преде.яу. [c.35] Эта теорема приведена в статье Ф. А. Слудского [30], ее знал, по-видимому, Вейерштрасс и независимо доказал К. Сундман в своей знаменитой работе, посвященной регуляризации решений задачи трех тел [51], [3], [5]. [c.36] Теорема Сундмана. Если у решения задачи трех тел момент количества движения отличен от нуля, то существуют такие I и что в полосе 1ш.ч 6 координаты всех трех тел, попарные расстояния между ними и время I являются аналитическими функциями переменной, ч, связанной с временем Ь соотношением (22). В той же полосе скорости тел могут иметь на вещественной оси з лишь полюсы первого порядка. [c.37] При доказательстве этой теоремы Сундману пришлось преодолеть две осповпыс трудности. Первая из них связана с регуляризацией отдельных парных столкновений. Если при / = о происходит, скажем, столкновение тел р и Р2, то около этого момента силы взаимодействия этих тел будут много больше, чем силы их взаимодействия с р . Поэтому преобразования, приводяш ие к регуляризации, будут здесь в сущности теми же самыми, что и примененные в 2 для случая, когда, кроме сталкивающихся, других тел не существует. Особенность снова оказывается алгебраической как и в (19), координаты имеют точку ветвления третьего порядка, и существует единственное вещественное аналитическое продолжение за момент столкновения. (Недавно Г. Шперлинг [49] распространил этот результат и на задачу многих тел, при условии, что заранее известно, что особенность имеет характер парных соударений, возмо ино и нескольких пар тел). [c.37] Вторая трудность состоит в доказательстве равномерной оценки для радиусов сходимости рядов, представляющих решение, т.е. аналитичности решения в полосе равномерной ширины, окружающей действительную ось. Вывод необходимых для этого оценок периметра треугольника, образованного тремя телами, и величины скорости тела, не участвующего в столкновении, требует тонких и кропотливых рассуждений и занимает в работе Сундмана значительное место. [c.37] Регуляризация тройного столкновения, подобная проделанной Сун-дманом для случая парных столкновений, оказывается невозможной. Аналитические свойства решений задачи трех тел вблизи точки тройного соударения исследовались рядом авторов [50], [37], [32]. Наиболее полно этот вопрос был, по-видимому, изучен К. Зигелем, изложение результатов которого приведено в новом издании его известных Лекций по небесной механике , дополненных Ю. Мозером [6]. Не останавливаясь на подробном изложении, упомянем лишь о двух интересных фактах. [c.37] При этом оказывается, что точки Ri, либо располагаются в вершинах равностороннего треугольника, либо лежат на одной прямой. Таким образом, в окрестности тройного соударения движение трех тел асимптотически близко либо к лагранжевым, либо к эйлеровым частным решениям, чем подтверждается важная роль этих решений для качественного анализа всей задачи в целом. [c.38] Вернуться к основной статье