ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Версальиая деформация критической точки из "Динамические системы - 6 " Пусть G — группа Ли, действующая на многообразии М, f — точка из М. [c.16] Рассмотрим гладкое отображение 9 (Л, 0)- -(Л, 0). Деформацией, индуцированной из деформации F А- М при отображении 9, называется деформация d F=FoQ А - -М. [c.16] Определение. Деформация F (А, 0)- (М, f) называется версальной, если всякая деформация точки f эквивалентна индуцированной из F. [c.16] Версальная деформация с минимально возможным значением размерности базы называется миниверсальной. [c.16] То - ХГ/0 = Т/М, т. е. деформация являлась трансверсалью к орбите рис. 2). [c.17] Теорема ([ 1б]). Трансверсаль к орбите / (наименьшей размерности) является (мини)версальной деформацией. [c.17] Определение. Модальностью т точки /6Л1 при действии группы Ли О называется наименьшее число такое, что достаточно малая окрестность точки f покрывается конечным числом т-параметрических семейств орбит. [c.17] Пример. Пусть -многообразие четверок прямых, проходящих через начало координат в С . Группа Ли GL(3, С) действует на С , следовательно, и на многообразии М. Это действие транзитивно на множестве четверок прямых, не лежащих в одной плоскости. Поэтому точка многообразия М, соответствующая такой четверке общего положения, имеет модальность 0. Четверка различных прямых, лежащих в одной плоскости, имеет модальность 1, т. к. для нее имеется инвариант действия группы двойное отношение четырех касательных. [c.17] Деформацией ростка / (С , 0)- -С с базой Л = С называется росток в нуле гладкого отображения F (С Х С, 0)- -С такой, что F x,0) f x). [c.18] Деформация F эквивалентна деформации F, если F x,%) = =F g x,X),X), где г (С ХС, 0)- (С ,0), (j , 0)гладкий росток (семейство диффеоморфизмом, зависящее от параметра Л.6С0. [c.18] Определение. Касательным пространством к орбите ростка f называется линейное пространство скоростей изменения / под действием однопараметрических семейств диффеоморфизмов g x, т), тбС, 5(j , 0)=Ji. [c.18] Таким образом, касательное пространство к орбите ростка / (С , 0)- -С является модулем ростков функций, порождаемых производными ft, т. е. совпадает с градиентным идеалом /у/. [c.18] Условие трансверсальности деформации F(x, К) ростка / к его орбите называется инфинитезимальной нереальностью. [c.18] Теорема ([13], [276]). Инфинитезимально нереальная деформация ростка функции является версальной. [c.19] Пример. Локальная алгебра для ростка f x)=x порождена одной образующей Q/=(7n/m, поэтому деформация F x,K) =х - -К ростка f(x) версальна dF/dXlx=o = l. [c.19] В качестве следствия теоремы отметим, что размерность-базы миниверсальной деформации критической точки ростка f совпадает с ее кратностью jx(/). [c.19] Версальная деформация единственна в следующем смысле. [c.19] Т е о р е м а ([25]). Любая /-параметрическая версальная деформация ростка f, эквивалентна деформации, индуцированной из любой другой версальной деформации с /-параметрами диффеоморфным отображением их баз. [c.19] Определение. Модальностью т ростка функции f(х называется модальность его достаточной струи. [c.19] Вернуться к основной статье