ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Конечная определенность изолированной особенности из "Динамические системы - 6 " Пример. Функция f(j ) =j имеет в нуле изолированную критическую точку кратности 2, функция g(x, у) =ху имеет неизолированную критическую точку в каждой точке оси абсцисс. [c.14] В голоморфном случае конечномерность локальной алгебры эквивалентна изолированности критической точки в буквальном смысле в некоторой окрестности критической точки других критических точек не содержится. [c.14] Теорема. Кратность критической точки равна числу мор-совских критических точек, на которые она распадается при малом шевелении функции. [c.15] Этот результат является следствием теоремы о локальной, кратности голоморфного отображения (п. 3.1.10). [c.15] Как отмечалось в начале главы, функция общего положения может иметь только невырожденные критические точки. В семействе функций, зависящем от параметров, могут появляться. критические точки с большей кратностью, не устранимые при малых шевелениях этого семейства. Указанные утверждения вытекают из теоремы трансверсальности Тома, приведенной в. гл. 3. Простейшим примером такого семейства для критической точки кратности х является ее усеченная миниверсальная Деформация (п. 1.11). [c.15] Определение. Назовем два ростка f.g Tnta функций в точке а к-жвивалентными, если их разность f(x)—g(x) бесконечно малая более высокого порядка, чем лг—а , где II 11 — какая-нибудь норма в С . Класс такого отношения эквивалентности на Спг а называется k-струей в точке а. [c.15] Для функции / С -+-С ее Л-струя в точке а обозначается ]аН- Если фиксировать систему координат в С , то Л-струю можно представлять себе как многочлен Тейлора степени к. [c.15] Пример. 1-струя функции одной переменной определяется тройкой чисел х, у, dyldx. [c.15] Определение. Если любые две функции с данной Л-струей эквивалентны, то такая струя называется достаточной. [c.15] Пример. Для невырожденной критической точки, как следует из леммы Морса, функция эквивалентна своему многочлену Тейлора степени 2. Таким образом, 2-струя функции с невырожденной критической точкой достаточна. [c.15] Следующая теорема Тужрона утверждает, что любая функция в конечномерной критической точке эквивалентна многочлену. Она справедлива как в комплексном, так и в вещественном случае. [c.15] Теорема ([]356], [16]). р,.+ 1-струя функции в критической точке кратности ц достаточна. [c.16] Для неизолированной критической точки никакая конечная струя не является достаточной. [c.16] Пример (Уитни, [371]). Росток голоморфной функции f(x,y,z)=xy ,x- y) х—гу) х—ё у) в нуле не эквивалентен ростку многочлена. [c.16] Действительно, плоскость 2= onst пересекает множество уровня /=0 по пяти кривым, пересекающимся в одной точке. Двойные отношения, построенные по касательным к каждой четверке этих кривых в точке их пересечения, зависят от г. Если бы функция / была эквивалентна многочлену, то зависимость каждого из этих отношений от любого другого из них была бы алгебраической. Для нашей функции это не так из-за множителя е. [c.16] Вернуться к основной статье