ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы в окрестности равновесия при резонансе из "Динамические системы-3 " Если между собственными частотами системы с двумя степенями свободы отсутствуют резонансные соотношения до 4-го порядка включительно, то равновесие устойчиво (при дополнительном условии изоэнергетической невырожденности) этот результат уже обсуждался в гл. 5, п. 3.5 Б. Для оставшегося конечного числа резонансных случаев справедлив ааедую-щий результат. [c.281] Теорема 8. ([77], [94], [117—119], [132]). Если собственные частоты удовлетворяют резонансному соотношению порядка 4 и выполнены условия общности положения п. 3.2, то равновесие исходной системы устойчиво или неустойчиво одновременно с равновесием нормальной формы. [c.281] В обозначениях п. 3.2 имеем следующие результаты. [c.281] Следствие 1 ([94]). При резонансе (2,1) равновесие неустойчиво, если ВфО (рис. 69). [c.281] Следствие 2 ([94]J. При резонансе (3,1) равновесие устойчиво, если Д] ЗУЗ 5 0 (рис. 71) и неустойчиво, если 0 И ЗУЗ В1 (рис. 70). [c.281] Следствие 3 ([77], [117], [119]). При кратной ненулевой частоте у линеаризованной системы, имеющей пару жордановых клеток порядка 2, равновесие полной системы устойчиво, если а0 0 (рис. 75), и неустойчиво, если а0 0 (рис. 76). [c.281] Следствие 4 ([118], [132]). При нулевой собственной частоте у линеаризованной системы, имеющей жорданову клетку порядка 2, равновесие полной системы неустойчиво, если ЬфО (рис. 77). [c.281] Когда некоторые из сформулированных условий общности положения нарушаются, устойчивость проанализирована в [94], [117]. [118], [132]. [c.281] Имеющиеся на фазовых портретах нормальной формы сепаратрисы при переходе к точной системе оказываются, вообще говоря, расщепленными, как описано в гл. 5, п. 3.3. Б. [c.281] Рассмотрим линеаризованную систему. [c.282] Теорема 10. (Биркгоф [22]). Предположим, что собственные частоты (о 2л-периодической системы (15) не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка /. и меньше. Тогда симплектической 2я-периодической по времени заменой переменных функция Гамильтона приводится к такой же нормальной форме Биркгофа степени как если бы система была автономной, с той лишь разницей, что остаточные члены степени -Ы и выше будут 2л-периодически зависеть от времени. [c.283] Процедура нормализации аналогична описанной в п. 3.1. Если система гладко зависит от параметра, то гладким по параметру выбирается и нормализующее преобразование. [c.283] Опреде.пение. Неавтономной резонансной нормальной формой гамильтониана степени Ь для резонансов из называется многочлен степени /. от симплектических переменных Я , Q , который в полярных координатах (9) зависит от фаз ф и времени ( только через их комбинации к1(р1+. .+k,(p +koi, где (ки. .., к , ко) ( К. [c.283] Теорема 11. Пусть собственные частоты не удовлетворяют никаким резонансным соотношениям порядка Ь и меньше, за исключением, быть может, соотношений кхт-Ь. ..+кщШп+ -ЬЛо=0, где ( 1.кп, ко) К. Тогда существует симплектическая 2л-периодическая замена переменных, приводящая га-мильтс1 иан к неавтономной резонансной нормальной форме степени I для резонансов из /С с точностью до членов степени -I-1. [c.283] Если ранг подгруппы К равен г, то система в нормальной форме для резонансов из К имеет п—г независимых интегралов в инволюции, являющихся линейными комбинациями величин Pi +Qi ) 2. В частности, если резонансное соотношение только одно, то система интегрируема. [c.283] Здесь р и 1 з — сопряженные фазовые переменные, 6 = (1) + Ао/А — резонансная расстройка, А — многочлен от р 5, гро — постоянные. Нужные условия общности положения состоят в том, что 5 0, Л (0) 0 для А 4, Л(0) 5 для к = А. Все коэффициенты зависят еще от параметра Л. Будем считать, что с1Ь1(1НфО, так что вместо Л можно использовать 6. При сформулированных условиях малое изменение В и коэффициентов А не приводит к бифуркациям поэтому зависимость их от параметра можно не учитывать. Будем считать, что В 0 и Л(0) 0 — это не ограничивает общности. [c.284] Перестройка фазового портрета при росте б с прохождением через нуль показана для А = 3 —на рис. 78 а, для А = 4 —на рис. 78 6, если Л(0) В, и на рис. 78 в, если Л(0) Б, для к = = 5 — на рис. 78 г. [c.284] Есть еще два резонансных случая, которые проявляются уже в квадратичных членах гамильтониана. Это случаи, когда мультипликаторы замкнутой траектории равны —1 или 1. [c.284] Перестройка показана на рис. 79а для а=1, 0 0 и на рис. 79 6 для а = 1, 0 0. [c.284] Вернуться к основной статье