ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Усреднение в многочастотных системах из "Динамические системы-3 " Замечания. 1. Из доказательства видно, что результат теоремы останется справедливым, если возмущение имеет конечную, но достаточно высокую, гладкость по фазе тогда коэффициенты Фурье возмущения убывают степенным образом с достаточно большим показателем степени. Нетрудно проверить, что хватает наличия + т+1 производных. [c.168] Если вместо (11) выполнено более слабое условие несоизмеримости (к, о) 0 при йе2 0 , то усреднение все равно применимо для описания движения. Однако точность может быть хуже, чем е (например, Уе или 1/ 1пе ). Именно, справедливо следующее утверждение. [c.168] Для систем с постоянными несоизмеримыми частотами имеются многочисленные результаты о существовании интегральных многообразий [97]. В частности, если усредненная система имеет равновесие или периодическое решение, и вещественные части характеристических показателей линеаризованной около него системы отличны от нуля , то точная система имеет близкий к нему по медленным переменным инвариантный тор (соответственно т- или т-Ы-мерный). Даже в аналитической системе этот тор, как правило, не аналитичен ни по е, ни по фазовым переменным (см. Пред-южение 1 и пример 6). однако процедура исключения быстрых переменных позволяет построить для него асимптотическое по е разложение. [c.168] Действительно, вводя в системе с постоянными частотами отклонение от равномерного вращения = р—ш/ и обозначая х= = (7, I), придем к уравнениям в стандартной форме. Условие равномерного среднего здесь выполнено, так как А ((, х, е) — квазипериодическая функция времени t. [c.169] Многие результаты об усреднении в системах с постоянными частотами (в том числе теорема 5 и теоремы о рождении условно-периодических движений из равновесий и периодических движений усредненной системы) могут быть обобщены иа системы в стандартной форме [8]. [c.169] Если область В нерезонансная, то, аналогично теореме 4, усреднение применимо и гарантирует точность порядка е на временах порядка 1/е. Если условие (13) заменить более слабым условием несоизмеримости к, о)(/)) 0, то, аналогично теореме 5, усреднение также будет применимо, но точность может ухудшиться. [c.170] В многочастотной системе общего положения нерезонансных областей нет, так как условие несоизмеримости (для указанных векторов к) нарушается, вообще говоря, на всюду плотном множестве точек. Однако в приложениях иногда возникают задачи, в которых такие области все же имеются. Например, нерезонансные области существуют, если возмущение содержит конечное число гармоник, а частоты независимы. [c.170] Здесь возможен только один резонанс (к, ш) =0. Основные эффекты, связанные с влиянием отдельного резонанса, проявляются уже в системе (14). Поэтому ее изучение представляет значительный интерес. [c.170] оказывается, что если захват в резонанс происходит, то множество захватывающихся точек прн е- -0 стремится расположиться в фазовом пространстве всюду плотно в шаре диаметра порядка е имеются как захватывающиеся, так и не захватывающиеся точки. Еслн, как это бывает в практических задачах, начальные условия известны с погрешностью большей, чем е, то нельзя однозначно сказать, захватится точка в резонанс нли нет. Задача приобретает вероятностный характер. Можно утверждать, что вероятн ть захвата в резонанс мала и прн е- Ч) стремится к нулю как Уе. [c.171] Для случая а 1 фазовый портрет задачи с трением изображен на рис ЗЗ. Вдоль сепаратрисы образуется полоса щирины порядка 1/е из фазовых точек, для которых маятник переходит из вращения в колебания. Переходу к колебаниям в исходных переменных соответствует захват в резонанс. В незаштрихован-ной области на рис. 33 маятник переходит из обратного вращения в прямое. Для траектории, проходящей на расстоянии с е от седловой особой точки, этот переход занимает время порядка 11п . Возвращаясь к исходным переменным, видим, что доля порядка У г всех фазовых точек захватывается в резонанс. Составим исключительное множество меры порядка Уь из точек, которые либо захватываются в резонанс, либо находятся в резонансе в начальный момент, либо проходят ближе е от седел. Точки, не принадлежащие этому множеству, проходят у е-окрест-ность резонан а за время t порядка от 1/1/ё до 1пе /]/ е. При прохождении набирается погрешность усреднения порядка от е до Уг 1пе . [c.172] Эта система, конечно, интегрируема. Движение в окрестности резонанса описывается с помощью ее малого возмущения согласно (17). [c.173] Этп уравиения могут иметь невырожденное равновесие с кФО. Ему соответствует по теореме 3 предельный цикл исходной системы, лежащий внутри петли сепаратрисы. [c.174] Здесь и ниже сл, С — положительные постоянные. [c.175] Теорема 6. Если выполнено условие А, то справедливо заключение теоремы 6. [c.176] Сформулированное в начале этого пункта условие А не препятствует захвату в резонанс. Оказывается, при этом условии суммарный эффект прохождения через резонансы такой же, как эффект отдельного резонанса, описанный в п. 1.7. [c.177] Замечания. 1. Для двухчастотшлх систем остался некс-. следованным случай, когда условие А нарушается, т. е. отношение частот быстрого движения изменяется в усредненном движении немонотонно. [c.179] В этих задачах большинство решений описывается с помощью независимого усреднения по фазам. Однако при некоторых соотношениях между параметрами возможен и захват в резонанс. [c.179] Анализ, учитывающий детали этих явлений, для многочастотных систем не проведен. Тем не менее известны некоторые оценки, обосновывающие применимость метода усреднения. Они получены на основе следующего общего соображения если множество точек, близких к резонансным поверхностям, имеет малую меру, то для большинства начальных данных фазовая кривая проводит в этом множестве малое время поэтому естественно ожидать, что для большинства начальных данных усреднение правильно описывает движение. [c.180] Для систем стандартного вида (2) техника работы [160] позволяет получить следующую оценку погрешности усреднения. [c.180] Вернуться к основной статье