ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Процедура исключения быстрых переменных. Нерезонансный случай из "Динамические системы-3 " Крылов и Н. Н. Боголюбов. Опишем построение этих замен (в неконсервативном случае консервативный случай разобран в 2). [c.156] Функции i, Yi определяются членами ui, ui. Uj, v, в разложении (5). [c.156] Здесь ы (/), у (/)—произвольные функции. Обычно выбирают и = у =0. [c.157] Таким образом, зависимость от фаз оказывается отнесенной в члены порядка Если отбросить эти члены, то система уравнений для I отщепится. Если найти ее решения, то изменение фазы определится с помощью квадратуры. Возвращаясь к исходным переменным, видим, что изменение I сводится к медленному дрейфу (описываемому уравнением для /), на который накладываются малые быстрые осцилляции (описываемые с помощью замены переменных), точно так же, как в примере 1 и на рис. 27. Изменение ф представляется как вращение с медленно изменяющейся частотой, на которое также накладываются осцилляции. В первом приближении эта процедура приводит к усредненной системе (с добавлением уравнений, приближенно описывающих изменение фаз). [c.157] Выше предполагалось, что в формулах для замены переменных знаменатели к, со(/)) не обраш,аются в нуль в рассматриваемой области. Это предположение выполнено для одночастотных систем с не обращаюш,ейся в нуль частотой, систем с постоянными несоизмеримыми частотами, систем с конечным числом гармоник в возмущении и в некоторых других случаях (см. ниже пп. 1.4—1.6). Но для общих многочастотных систем это условие нарушается. Здесь есть две трудности. [c.158] Тогда в каждом порядке процедуры возникает лишь конечное число малых знаменателей. Соответственно, функции Vi не определены лишь на конечном числе резонансных поверхностей (, u(/))=0, зависящем от е и номера i. В каждом конечном приближении отображение J, гр.- /, ф оказывается не определенным на конечном (зависящем от е и от номера приближения) числе поверхностей. Вне некотор окрестности этих поверхностей (обычно ширины порядка Уе) разности 1/—/ , ф—ipl оказываются достаточно малыми (обычно тоже порядка е), а отображение /, о з /, ф действительно определяет замену переменных. Подстановка этой замены в уравнения позволяет отнести зависимость от фаз в члены более высокого порядка малости. [c.158] Вторая трудность состоит в том, что в ходе эволюции частоты (о(/) сами медленно изменяются. Поэтому на интервале времени 1/е точка может многократно пересекать окрестности резонансных поверхностей. Следовательно, даже замена переменных первого приближения не определена, вообще говоря, вдоль всей траектории на интервале времени 1/е. Однако эта замена является основным средством анализа движения между резонансами. Происходящие при пересечении резонансной поверхности явления рассмотрены ниже в пп. 1.7, 1.8. Грубо говоря, дело здесь обстоит так суммарная мера резонансных областей оказывается малой поэтому для большинства начальных данных движение в них не может сильно повлиять на эволюцию и принцип усреднения позволяет описать большинство траекторий. [c.158] Здесь символ обозначает усреднение по % (предварительно надо выразить гр через 7, %), символ , как и в п. 1.2, обозначает применение интегрирующего оператора (8), а ыЛ Vi° — произвольные функции от J. В формулах возникают знаменатели (к, (о) только для к К. [c.160] Обрывая ряды замены переменных на членах г-го порядка, получим систему уравнении, в которой зависимость от быстрых фаз содержится в членах порядка Отбрасывая эти члены, получим укороченную систему, которую следует применять для описания движения в окрестности резонансных поверхностей (к, (о(У))=0, 6/С. В первом приближении эта система совпадает с частично усредненной с учетом заданных резонансов системой (4) (только надо выбрать mi =0). [c.160] Много примеров анализа движения одночастотных систем с помощью усреднения содержится в [63]. [c.161] В одночастотном случае обоснование принципа усреднения проведено практически полностью. Ниже приводятся результаты о точности усреднения на временах порядка 1/е, свойствах высших приближений процедуры исключения быстрой переменной и о связи интегральных многообразий (стационарных точек, циклов, инвариантных торов) точной и усредненной систем. [c.161] Пусть в уравнениях возмущенного движения (2) частота о и возмущения f, g — гладкие функции в своей области определения fixs x [О, ео], ограниченные вместе со своими производными первого порядка постоянной С. [c.161] Здесь С — постоянная, зависящая от постоянных с и С. [c.161] Если возмущенная система аналитичиа, то процедура пункта 1.2 позволяет исключить из ее правых частей фазу в любом конечном порядке по е. Однако получаемые ряды, вообще говоря, расходятся, так что полностью исключить фазу и разделить быстрое и медленное движение не удается. Оказывается, исключение фазы можно провести с экспоненциально малой ошибкой. Эта ошибка в общем случае принципиально не устранима ни в каком варианте теории возмущений. Сформулируем точнее утверждение об исключении фазы. Пусть правые части возмущенной системы аналитически продолжаются в комплексную б-окрестность области определения системы, оставаясь ограниченными по модулю постоянной С. Пусть в этой окрестности (u 0. [c.162] Здесь с, 0 — положительные постоянные, зависящие от с, С, б, ео . [c.162] Экспоненциальный добавок неустраним, так как проекция всякой кривой, первоначально близкой к окружности/ = onst, на пространство медленных переменных растет, вообще говоря, не медленнее, чем e/ sexpi—Сб /е) при переносе кривой фазовым потоком. [c.162] Исследование усредненной системы часто позволяет установить существование предельных циклов и инвариантных торов исходной системы и приближенно их вычислить. [c.162] Положение равновесия называется невырожденным, если линеаризованная около него система ие имеет нулевых собственных значений. [c.162] Заметим, что в аналитической системе предельный цикл, рождающийся из равновесия усредненной системы, аналитичен и аналитически зависит от е (это видно из доказательства теоремы 3). При рождении тора из цикла усредненной системы картина совершенно другая. [c.164] Вернуться к основной статье