ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые решенные задачи неголономной механики из "Динамические системы-3 " Они имеют четыре независимых интеграла fi = , о) + +е Уу. 7 . [c.149] Поскольку уравнения (31) имеют инвариантную меру с плотностью (27), то, по теореме 13, они интегрируемы. [c.149] ИТ в том, что скорость точки касания диска параллельна его горизонтальному диаметру. В отличие от задачи Аппеля — Кор-тевега, здесь первые интегралы выражаются через элементарные функции и имеют простой механический смысл сохраняются проекции кинетического момента диска, вычисленного относительно его центра, на вертикаль и на ось Ог. Для почти всех начальных условий диск никогда не упадет на лед и траектория его точки касания ограничена. Более точно, точка касания описывает некоторую замкнутую кривую, которая, в свою очередь, вращается как твердое тело вокруг некоторой точки с постоянной угловой скоростью (детали см. в работе [79]). [c.151] Для реальных движений 2=1. з = 0. Таким образом, задача интегрирования уравнений (34) сводится к нахождению инвариантной меры (ее существование вовсе не очевидно) и четвертого независимого интеграла. Рассмотрим частный случай, когда а является собственным вектором оператора Л. При этом предположении фазовый поток системы (34) сохраняет стандартную меру в = Х 7). Пусть тело вращается в однородном силовом поле и(у)=(Ь, у). Если а, Ь =0, то уравнения (34) допускают четвертый интеграл 4 = Ло), Ь и, следовательно, интегрируются в квадратурах. Этот случай отмечен Е. И. Харламовой в 1957 г. Укажем еще один случай интегрируемости если силовая функция задана формулой (30), то уравнения вращения допускают четвертый интеграл — интеграл Тиссерана (см. а)). [c.151] Отметим в заключение, что в неголономной механике известно сравнительно немного точно решенных задач (практически полную информацию можно найти в книгах [19], [211, [17]). Однако в самых простых из них поведение системы может быть весьма неожиданным. Примерами могут служить уже упоминавшиеся в главе 1 (п. 2.5) конек на наклонной плоскостн и однородный шар в вертикальном цилиндре. [c.151] Вернуться к основной статье