ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры свободное вращение твердого тела и задача трех тел из "Динамические системы-3 " Это уравнение можно представить в гамильтоновом виде / = = , Я , где Н= к, (1) /2 — кинетическая энергия твердого тела, а скобка I, определяется с помощью равенств ки кг =—кг, к , Лз) = — з, к )=—кг. Эта скобка, правда, вырождена функция Р= к, к коммутирует со всеми функциями,, заданными на к = к . Мы получим невырожденную скобку Пуассона, если ограничим скобку , на поверхность уровня днффеоморфную двумерной сфере 5. На симплектическом многообразии 5 возникает искомая гамильтонова система ее функция Гамильтона является полной энергией к, (1) /2, ограниченной на 5. [c.111] Укажем классический способ сведения задачи Эйлера к га-мильтоиовой системе с одной степенью свободы, использующий специальные канонические переменные. Пусть оХ 1 — неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, одг /2 —подвижная система координат (главные оси инерции тела). Положение твердого тела в неподвижном пространстве определяется тоемя углами Эйлера О (угол нутации)—угол между осями о2 и ог, ф (собственного вращения) — между осью ох и линией пересечения плоскостей оху и оХУ (называемой линией узлов), (угол прецессии) — между осью оХ и линией узлов. Углы О, ф, 1 ) образуют на 50(3) систему координат, подобную географическим координатам на сфере с особенностями у полюсов (где 0=0, л) и многозначностью на одном меридиане. Пусть р. рщ, — канонические импульсы, сопряженные с координатами О, ф, 11). Еслн твердое тело вращается в осесимметричном силовом поле с осью симметрии oZ, то функция Гамильтона не будет зависеть от угла 1 ). Понижение порядка в этом случае можно трактовать как исключение узла — исключение циклической переменной я ), определяющей положение линии узлов в неподвижном пространстве. [c.111] Пусть 2 — плоскость, проходящая через точку о и перпендикулярная вектору кинетического момента тела. Тогда — проекция момента на ось ог, О — величина момента, Я — проекция момента на ось оЕ, I — угол между осью ох и линией пересечения Е с плоскостью оху, д — угол между линиями пересечения 2 с плоскостями оху и оХУ, /г —угол между осью оХ и линией пересечения 2 с плоскостью оХУ. [c.111] Уравнения (10) описывают движение фиктивных материальных точек с массами i, V. Предложение 5 легко обобщается на случай любого п 3. Уравнения (10) с 6 степенями свободы, разумеется, гамильтоновы. [c.113] Когда движение плоское, то первые два уравнения (12) сводятся к равенствам Г = у = 0, мы получаем гамильтонову систему с тремя степенями свободы. [c.114] Вернуться к основной статье