ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понижение порядка (лагранжев аспект) из "Динамические системы-3 " Теорема 12. Функция (q(t), Я,(/)) — движение лагранжевой системы М, L) с постоянной циклического интеграла /,= =с тогда и только тогда, когда q(t) удовлетворяет уравненик Лагранжа (/ .] =0. [c.99] Если имеется несколько циклических координат Я. .., А,, то в качестве функции Рауса надо взять функцию R ,.. [c.99] Пусть (М, N, рг, S, G)—расслоение с пространством расслоения М, базой jV, проекцией рг M- -N (ранг дифференциала рг, во всех точках М равен dimA ), слоем S и структурной группой G. Группа G свободно и транзнтивно действует слева на слое 5. Это действие можно продолжить до левого действия G на М при этом все орбиты G будут диффеоморфны 5. В случае главного расслоения многообразие 5 диффеоморфно пространству группы G. Базу N можно рассматривать как фактор-пространство многообразия М по отношению эквивалентности, заданному действием группы G. Векторы Vx, X( S, касательные к орбитам группы G, вертикальны pr (i ) =0. [c.100] Лемма 2. Пусть 6y. Тогда для любой точки хШ найдется единственный вертикальный касательный вектор такой, что loivot) =с. [c.102] Определение. Приведенной силовой функцией натуральной системы с группой симметрий G, отвечающей постоянной момента о = с, называется функция равная V — 0Ус, ьУ /2. [c.102] Следствие. Если G коммутативна, то К постоянна на орбитах группы G. [c.102] Это утверждение позволяет корректно определить приведенный потенциал U =—V как функцию на базе N. [c.102] Теорему 14 можно вывести, например, из теоремы 9. [c.102] Уравнение (6) можно рассматривать как уравнение движения натуральной системы (Л , , , V ) под действием дополнительных непотенциальных сил F . Так как F (v)-v = = i2 (u, с )=0, то эти силы не производят работы на действительном движении. Они называются гироскопическими. [c.102] Поскольку форма Q замкнута, то локально Qe = d(u . Следовательно, уравнение (6) является уравнением Лагранжа (Лс]=0, где ii = L — u . Функция Рауса R определена в целом на TN только тогда, когда форма Q точна. [c.102] Теория понижения порядка лагранжевых систем с очевидными изменениями переносится на неголономную механику. Для того, чтобы осуществить факторизацию по группе симметрий неголономной системы, нужно дополнительное предположение об инвариантности связей относительно действия этой грурпы. Примером может служить задача Чаплыгина о качении щара по горизонтальной плоскости (см. пример 5) Эта задача допускает группу поворотов 50(2) шара относи тельно вертикальной прямой, проходящей через его центр Группа 50(2) сохраняет связи и порождающее ее поле яв ляется полем возможных скоростей. Исключение группы по воротов фактически проведено нами в примере 5 методом Пуассона. [c.103] В заключение отметим еще проблему скрытых движений или проблему дальнодействи я , волновавшую физиков в конце 19-го века. Предположим, что натуральная механическая система с п- -1 степенями свободы движется по инерции и ее лагранжиан, представляющий только кинетическую энергию, допускает группу симметрий с полем V. Понижая порядок системы, мы видим, что функция Рауса, являющаяся лагранжианом приведенной системы с п степенями свободы, содержит слагаемое — приведенный потенциал — /с = 1 , Шс /2 = с /2 к, у , не зависящее от скоростей. Это слагаемое можно интерпретировать как потенциал сил, действующих на приведенную систему. Гельмгольц, Дж. Томсон (Л. Л. ТЬотзоп), Герц настаивали на том, что все механические величины, проявляющиеся как потенциальные энергии , обусловлены скрытыми циклическими движениями. Характерным примером является вращение симметричного волчка поскольку вращение волчка вокруг оси симметрии заметить невозможно, то можно считать волчок не-вращающимся и странности в его поведении объяснить действием дополнительных потенциальных сил. [c.103] Так как ис = из к ,)/2 0, то методом Рауса можно получить только положительные потенциалы. Однако, поскольку потенциал определяется с точностью до аддитивной постоянной, то это ограничение несущественно для случая компактного пространства положений. [c.104] Это утверждение нам сообщил С. В. Болотин (см. [56]). [c.104] Вернуться к основной статье