ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип стационарности укороченного действия из "Динамические системы-3 " для простоты записи, Л = 0 (если НфО, то можно заменить о на 1о+Л). Предположим, что В 2 0 (здесь В = Во, 2 = 2о). [c.42] Подынтегральное выражение в Р является однородной функцией скорости степени 1. Следовательно, величина укороченного действия Р не зависит от параметризации пути интегрирования. [c.42] Определим внутри области В риманову метрику , , положив X, X ) (х)12 х), х ТВ. Эта метрика называется метрикой Мопертюи. Для натуральных систем, когда ,=0, предложение 12 означает, что в области 5 2 траектории движения с нулевой полной энергией совпадают с геодезическими линиями метрики Мопертюи. [c.43] Когда Л Л, область В совпадает с М л В, , ) — обычное риманово многообразие. Это замечание позволяет применить топологические теоремы на римановых миогообразиях к изучению механических задач. Так, например, рассмотрим тор Г с некоторой римановой метрикой. Среди всех замкнутых кривых на Р, делающих т обор т)1в по параллели и п по меридиану, существует кривая минимальной длины. Эта кривая — замкнутая геодезическая. С другой стороны, тар Г является пространством положений плоского двойного маятника. Отсюда вытекает, что для любых целых т, п существует периодическое движение двойного маятника, при котором одно звено делает т оборотов за время, за которое второе звено делает п оборотов. Более того, такие пер нодические движения существуют при любом достаточно большом значении постоянной энергии. С вариационной теорией замкнутых геодезических можно познакомиться по книгам [161], [173]. [c.43] Вернуться к основной статье