ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случаи распадения линии пересечения поверхностей из "Начертательная геометрия " Ранее основное внимание было уделено теории способов и алгоритмам построения линии пересечения поверхностей. Теперь рассмотрим некоторые вопросы алгебры, относящиеся к построению линии пересечения алгебраических поверхностей. [c.132] Основная теорема алгебры применительно к пересечению поверхностей читается так две алгебраические поверхности порядков п, т пересекаются по пространственной кривой порядка пт. [c.132] Следствие две поверхности второго порядка перес( каются по пространственной кривой четвертого порядка. [c.132] Для графической реализации алгоритмов построения линии пересечения поверхностей существенное значение имет следующая теорема если алгебраические поверхности порядков п, т имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения прямоугольно проецируется на эту плоскость или ей параллельную в кривую порядка 11 . [c.132] Следствие если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения прямоугольно проецируется на эту плоскость или ей параллельную в кривую второго порядка. [c.132] Важное значение для решения прикладных задач имеют случаи, когда линия пересечения двух поверхностей распадается на две или более составляющих. Возможны случаи, когда две или более составляющих совпадают, что ведет к касанию данных поверхностей вдоль этих составляющих. Для конкретности рассмотрим такие случаи применительно к пересечению двух поверхностей второго порядка. [c.132] Второй вариант распадения можно проиллюстрировать следующим примером (рис. 4.41). Пусть пересекаются однополостный гиперболоид Ф и коническая поверхность Д(5, а). При этом вершина S конической поверхности Д принадлежит поверхности Ф, а ее направляющая а проходит через следы М, N образующих т, п гиперболоида, проходящих через точку S. Тогда прямые т, п будут общими для поверхностей Ф, Д, которые дополнительно пересекаются по кривой второго порядка /. Здесь линию / также удобно строить способом вращающейся плоскости. При. этом за ось пучка вспомогательных плоскостей можно брать любую из прямых т, п. [c.133] Большой теоретический и прикладной интерес представляет четвертый вариант распадения линии пересечения двух поверхностей второго порядка на две кривые второго порядка. Есть ряд известных теорем, относящихся к этому варианту распадения. [c.133] Теорема если две поверхности второго порядка имеют общую кривую второго порядка, то они пересекаются еще по одной кривой второго порядка. [c.133] Пример. Построить линию пересечения Ь двух конических поверхностей Ф(8, а), Д(5, а), имеющих общую направляющую окружность а (рис.4.43). [c.133] Горизонтальная проекция искомой недостающей составляющей линии пересечения строится из условия принадлежности одной из данных конических поверхностей. [c.134] Отметим, что кривые второго порядка а, Ь, принадлежащие обеим коническим поверхностям Ф, Д, пересекаются в двух точках М, N. Эти точки могут быть действительными различными (см. рис. 4.43), совпавшими или мнимыми. Это утверждение справедливо для любых двух кривых второго порядка, принадлежащих одной поверхности второго порядка. Действительно, плоскости этих кривых пересекаются по прямой, которая пересекает поверхность второго порядка всегда в двух точках (действительных различных, совпавших или мнимых). Через эти точки, очевидно, проходят указанные кривые второго порядка. [c.134] Другие теоремы, относящиеся к распадению линии пересечения двух поверхностей второго порядка на две кривые второго порядка, будут расмот-рены в следующем разделе. [c.134] Вернуться к основной статье