ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Различные режимы распространения тепла в движущейся среде из "Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса " Пусть теперь координата 5 = 0 характеризует плоскую (v = 0) границу теплопроводного газа с вакуумом, т. е. при 5 = 0 заданы граничные условия вида (4.35) (со(0) = 1, 6(0) = 0). Исследуем характер решения системы (4.27)—(4.31) в окрестности этой точки. [c.148] Аналогично изложенному в гл. П1 можно показать, что при По О значениям s = О, 6(0) = О в плоскости (х О, а) соответствует точка х = 0, а = —00. Формула (4.72) определяет асимптотическое выражение безразмерной функции скорости а = а(х) в окрестности X = 0. [c.151] Из формул (4.72), (4.74), (4.82), (4.83) можно получить приближенные выражения искомых функций вблизи у = 0. [c.153] Чтобы получить асимптотические выражения безразмерных функций скорости и давления вблизи 5 = 0 для случая / = О и функций температуры и потока тепла при й = О, надо в соответствующем разложении в ряд в окрестности 5 = 0 (X = 0) учесть члены более высокого порядка малости. [c.158] Рассмотрим комбинацию вида (4.113), входящую в знаменатель уравнений (4.116)—(4.118). [c.160] Пусть X = Х — точка, в которой Л(Х )=0, а параметр Ф = ф(х ) = входящий в числитель правых частей уравнений (4.116)-(4.118), отличен от нуля. Тогда в этой точке все производные, кроме / и X, равны бесконечности. [c.161] 134) следует, что точка 5 = 0, 6 = 0 (8 = 8 , 6=6 ) есть точка поворота интегральной кривой 6=6(х). Это означает, что интегральные кривые из области 8 8/ (Д 0) в область 8 8 (Л 0) или наоборот непрерывно продолжить нельзя. Из (4.129) и (4.130) следует, что аналогичным образом через точку 5 = 5 непрерывно нельзя продолжить функцию скорости а= а(х) и функцию потока тепла со = со(х). Следовательно, переход из области Л О в область Л О можно осуществить только через разрыв гидродинамических величин и потока тепла. Функции температуры / = /(х) и эйлеровой переменной X = Х(х) в окрестности 8 = 8 будут непрерывными (см. формулы (4.131)). [c.162] Пусть разрыв расположен в некоторой точке х = хь Х) х 1 О X, Хо- В точке х = Х1 функция Л = Л(х) разрывна, так как предельное значение справа Л(х1 -Ь 0) О, а предельное значение слева Л(х1 — 0) 0. Переходя к исходным ( размерным ) переменным по формулам (4.20) или (4.26), получим, что перед разрывом щ С[, а позади него и2 С , где = у/КТ — изотермическая скорость звука. Значение параметра х = Х определяется из численного решения системы уравнений в автомодельных переменных (4.113)—(4.120) при соответствующих граничных условиях, заданных при х = О и х = Хц. [c.163] Разрыв в точке х = Х) является изотермическим. Значения искомых функций впереди и позади разрыва связаны соотношениями, вытекающими из законов сохранения массы, импульса и энергии при условии непрерывности температуры (см. формулы (1.42)). Непрерывной должна быть и переменная Эйлера X. [c.163] Обозначим индексом 1 величины впереди фронта разрыва, а индексом 2 — позади фронта разрыва. [c.163] На рис. 4.4—4.6 приведены численные примеры автомодельных решений задачи о поршне, построенные при значениях V = О, а = 4, Ь = —2, у = 5/3, I = 0. Сплошными линиями на этих рисунках представлены профили соответствующих безразмерных функций, полученные путем численного решения системы в автомодельных переменных (4.27) —(4.30) с учетом соотношений (4.135) на изотермическом разрыве. Треугольниками, крестиками и кружками отмечены результаты численного решения исходной системы в частных производных (1.23)—(1.27) на установление автомодельного режима. [c.163] Из формул (4.135) следует, что в отличие от классической газодинамики (Ж 0) сжатие на фронте изотермического разрыва может быть сколь угодно большим. На рис. 4.5 представлен пример газодинамической температурной волны, возникающей при движении теплопроводного газа перед поршнем, с перепадом плотности в глубине фронта 62/61 = 10. Эта величина существенно больше максимального скачка плотности на ударной волне для случая Ж = О (при =0 максимальный скачок определяется величиной (7 + 1)/(7 — 1) = 4 для 7 = 5/3). [c.165] На рис. 4.6 приведены примеры решения задачи о поршне при различных значениях постоянной Ко — при большом значении Ко (рис. 4.6а) и малом значении Ко (рис. 4.66). Видно, что в зависимости от изменения параметра Ко распределение искомых величин может иметь качественно различные структуры. Сплошными линиями изображены результаты расчетов системы в автомодельных переменных, крестиками и треугольниками — результаты установления численным решением исходной системы в частных производных. [c.165] При п —п у— )d по —2 d— l)/(2 + d—Ъ1)) система (4.139), (4.140) с точностью до положительных постоянных множителей совпадает с системой уравнений (4.50), (4.51), ранее рассмотренной нами при анализе решения вблизи фронта температурной волны (см. 2 настояш,ей главы). Отличие состоит в соответствующих граничных условиях в данном случае нас интересуют решения системы (4.139), (4.140) в области О х х,, которые при Х=Х[ удовлетворяют условиям /(Xi)=/i=/2 Ш(Х[) = u 2, где u 2 — значение потока тепла за фронтом изотермического разрыва. [c.166] При X = О имеем /(0) = fo O, а (0) = 1 и либо Р(0) = Ро О, либо р(0) = 0. [c.166] Пусть а — А — 1 0. В этом случае общая картина поведения интегральных кривых уравнения (4.142) в полуплоскости (х О, у) будет аналогична картине поведения интегральных кривых уравнения (4.54) (см. рис. 2.7). [c.167] Координате х = О, характеризующей положение поршня или границы газа с вакуумом, соответствует точка х= , у= . [c.167] При фиксированном изотермическом разрыве — фиксированных значениях параметров х = Х2 О, у=уг — существует единственная интегральная кривая у = у х), Х2 х оо, соответствующая приближенному решению исходной системы уравнений в автомодельных переменных в области О х х,. [c.167] Анализ расположения интегральных кривых в полуплоскости (х О, ) приводит к следующим результатам. [c.167] Наличие двух типов решений — с монотонной и немонотонной по 5 температурой — связано с величиной теплового режима на границе или величиной коэффициента теплопроводности. [c.168] Вернуться к основной статье