ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод усреднения для периодических сисПоверхности сечения из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Анализ устойчивости неподвижной точки (О, 0), проведенный в 20 (гл. 4), основан на идеях Пуанкаре и Ляпунова. Обобщение их результатов на системы с многими степенями свободы было осуществлено только в 1950 году М.Г.Крейном [1], [2]. Исследования Крейна были продолжены Якубовичем [1], Гельфандом и Лидским [4] и т.д. Изложение теоремы Крейна было опубликовано Мозером [3]. [c.219] Пусть А — линейное симплектическое отображение канонического пространства Отображение А называется устойчивым, если последовательность А ограничена. Отображение А называется параметрически устойчивым, если все симплектические отображения, близкие к А, устойчивы. [c.219] Лемма П29.1 (Пуанкаре —Ляпунов). Множество собственных значений X симплектического отображения А симметрично относительно действительной оси и окружности Л = 1. [c.219] Из леммы (А29.1) выводим следствие. [c.220] Следствие П29.4. Отображение А параметрически устойчиво, если все его собственные значения расположены на окружности Л и простые. [c.220] Действительно, в противном случае собственные значения Л и отображений А были бы расположены в окрестности единственного изолированного собственного значения отображения А (см. рис. П29.3). [c.221] Предположим, начиная с этого места, что 1 не являются собственными значениями отображения А. М. Г. Крейн разделил собственные значения Л, расположенные на Л = 1, на два класса положительные и отрицательные. Предположим сначала, что все собственные значения отображения А простые, и докажем следующую лемму. [c.221] Утверждение 2 следует из того, что если [ 1, 2] = О, то [ 1, г ] = О при любом 7] (так как по утверждению 1 [ 1, 1] = О и [ 1, 3] = О при любом з). Следовательно, [ 1, 2] ф 0. [c.221] Замечание П29.8. Знак собственного значения имеет простую геометрическую интерпретацию. Поскольку [ , ту] ф О, если вектор не параллелен вектору 7/, плоскость а допускает каноническую ориентацию. Следовательно, можно говорить о положительных и отрицательных поворотах. [c.222] Ограничение отображения А иа а есть эллиптический поворот на угол а, О а тг. Собственное значение Л положительно соответственно, отрицательно), если отображение А на а есть поворот на положительный соответственно, отрицательный) угол. [c.222] Основной результат Крейна утверждает, что столкновение двух собственных значений одного знака на окружности Л — 1 не приводит к неустойчивости, тогда как два собственных значения различных знаков могут покинуть окружность Л = 1 после столкновения, образовав таким образом четверку вместе с двумя комплексно сопряженными им собственными значениями (см. рис. П29.3). [c.222] Более точно, пусть А 1) — симплектическое отображение, непрерывно зависящее от , и пусть числа =Ы не являются собственными значениями при 1 1 т. Предположим, что при О все собственные значения Л/, отображения А простые и расположены на окружности Л = 1, тогда как при = О некоторые собственные значения Л/, сливаются. [c.222] Теорема П29.9. Если все собственные значения, которые сливаются, одного знака, то после столкновения они остаются на окружности Л =1 а отображение А остается устойчивым при t е, 0. [c.222] Мы докажем эту теорему в простейшем случае, когда сливаются все собственные значения Л, 1тЛ 0. Общий случай сводится к простейшему, если выбрать каноническое подпространство соответствующее I сталкивающимся собственным значениям и комплексно сопряженным с ними. [c.222] Доказательство теоремы П29.10. [c.223] Следовательно, квадратичная форма [А , ] невырождена при т, включая I = 0. С другой стороны, при О эта форма положительно определена. Действительно, каждый вектор г есть сумма своих проекций щ на инвариантные плоскости сг/., соответствующие парам собственных значений Л/., Л/., Л . = 1. Из следствия И29.6 мы заключаем, что плоскости ак попарно ортогональны (в смысле [ , ]). [c.223] Ио [Ащ, щ] О, поскольку — положительное собственное значение, и поэтому [Аг], г] 0. [c.223] форма [A(i) , положительно определена при t О и невырождена при i = 0. Следовательно, она положительно определена при i = О, а, значит, и при t е, г Q. [c.223] Замечание П29.11. То же рассуждение доказывает признак параметрической устойчивости симплектическое отображение А параметрически устойчиво в том и только том случае, если все собственные значения лежат на окружности Хи = 1, / 1, и на каждом инвариантном подпространстве, соответствующем кратным собственным значениям Л, Л, квадратичная форма [А , положительно (или отрицательно) определена. [c.224] Пусть Н р, о) — функция Гамильтона системы с п степенями свободы (следовательно, размерность фазового пространства р, д равна 2п). Пусть Н = к — 2п — 1)-мерная поверхность уровня энергии, а Т, Н = к, 1 = 0 — сечение поверхности постоянной энергии размерности 2п — 2. Пусть О в некоторой области Ео поверхности Е, и Р = (р2, Рп) Я = ( 2г п) образуют систему локальных координат (см. рис. П31.1). [c.228] Вернуться к основной статье