ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Доказательство теоремы Лобачевского-Адамара из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Напомним сначала некоторые классические свойства римановых многообразий отрицательной кривизны. [c.177] Следствие П21.2. Учитывая вышеупомянутые предположения, римановы сферы V являются выпуклыми, то есть геодезическая имеет не более двух общих со сферой точек. [c.177] Как обычно, 7(ж, гг, Ь) = y t) = 7 обозначает геодезическую, исходящую из X с вектором начальной скорости и и длиной дуги 1. Точка на 7, соответствующая , также записывается через у Ь). Риманово расстояние между двумя точками а и Ь обозначается через а, Ь. Через V обозначим полное, односвязное риманово многообразие отрицательной кривизны. [c.177] Теорема П21.3. Пусть у — точка из V. Геодезическая, соединяющая V с точкой 7( ) Е 7, стремится к пределу, когда t - -оо соответственно, 1 —оо). Этот предел является геодезической. [c.178] Замечание П21.5. Легко доказать, что положительная асимптота к 7, исходящая из данной точки положительной асимптоты и, является ничем иным, как 7 (геометрически). Таким образом, можно говорить о положительной асимптоте к 7, не упоминая определенную точку V. Более того, множество положительных асимптот к 7 является ((11тХ — 1)-параметричес-ким семейством геодезических. [c.179] Определение П21.8. Геометрическое место точек х, для которых L x] 7, О) = О, называется положительной орисферощ проходящей через точку О на 7, и будет обозначаться через О). [c.180] Получаем орисферы, являющиеся сферами бесконечного радиуса с центром в бесконечности. Риманова сфера с центром в точке а, проходящая через Ь, будет обозначаться Ь). [c.180] Лемма П21.9. (7(0 стремится к О) при t +оо. [c.180] С другой стороны, (р 1) 0. Таким образом, Х)(7(0 пересекает отрезок геодезической Х у 1) в точке Ь 1) (см. рис. П21.10). [c.180] Следствие П21Л1. Орисферы являются выпуклыми и, если кривизна многообразия V ограничена сверху отрицательной постоянной, строго выпуклыми. [c.181] Доказательство теоремы П21.15 является прямым следствием лемм П21.12 и П21.13. [c.183] Унитарное касательное расслоение многообразия V обозначается через TiV и р TiV Т является канонической проекцией. [c.183] Инвариантность расслоений сводит исследование дифференциала (р к исследованию его ограничений на Ж и) (соотв. Ж и)) и 7(w). Теперь, в завершение предположим, что V является универсальным накрытием W компактного риманова многообразия W отрицательной кривизны. В частности, кривизна V ограничена сверху отрицательной постоянной —к . [c.184] Положительные постоянные а и Ь независимы от1 и чает длину вектора из Т У с обычной римановой метрикой. [c.185] Докажем только первое неравенство, справедливость остальных может быть доказана тем же способом. [c.185] Известно, что /9(7, ф) следовательно. [c.186] Лемма (П21.17) и классическая возможность выбрать поле Якоби ф так. [c.186] Вернуться к основной статье