ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры римановых многообразий отрицательной кривизны из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Рассмотрим группу С сдвигов и положительных гомотетий прямой I Е М . [c.168] Операция 1 и переход к обратному элементу — операции дифференцируемые. Следовательно, С — группа Ли, диффеоморфная полуплоскости (ж, у) у 0 . [c.168] Определение П20.4. Полуплоскость (ж, у) у 0 , снабженная метрикой (П20.3), называется плоскостью Лобачевского. [c.169] Глобальная система координат [х, у) называется моделью Пуанкаре геометрии Лобачевского. [c.169] Условимся представлять точку (ж, у) плоскости Лобачевского комплексным числом г = х + 1у. [c.169] Теорема П20.7. Углы метрики (П20.3) совпадают с углами евклидовой метрики. [c.170] Теорема П20.8. Геодезические. Геодезические метрики (П20.3) — полупрямые, параллельные Оу Xq, у О, и полуокружности с центрами на Ох. В частности, существует одна и только одна геодезическая, проходящая через две заданные точки. [c.170] По теореме П20.5, симметрия х — —х сохраняет метрику. Поскольку эта симметрия сохраняет также полупрямую ж = О, у О, эта полупрямая — геодезическая. [c.170] Теорема П20.9. Кривизна. Полная кривизна метрики (П20.3) постоянна и равна —1. [c.170] Инвариантность метрики относительно преобразований (П20.6) доказывает, что кривизна К постоянна. [c.170] Но определению Н20.13 и теореме H20.il, это — траектории, ортогональные полуокружностям, проходящим через 7(+оо) с центрами на оси Ох (и расположенным над ней). [c.173] Рассмотрим все геодезические, проходящие через точку т это семейство полуокружностей, проходящих через точку т и ортогональных оси Ох (теорема Н20.8). [c.173] Это — пространство Лобачевского постоянной кривизны, равной — 1. Орициклы представляют собой п — 1)-мерные многообразия, а именно евклидовы плоскости Хп = С и евклидовы сферы, касательные к плоскости Хп = О и расположенные под плоскостью х = 0. [c.176] Вернуться к основной статье