ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория возмущений из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Обратимся к асимптотической теории, т. е. ограничимся изучением поведения траекторий при О i 1/е, где е — возмущение. Кроме того мы можем теперь рассматривать негамильтоновы системы. [c.100] Заметные (порядка единицы) эффекты эволюции могут наблюдаться лишь на достаточно больших интервалах времени t 1/е. [c.101] По уже в случае двух частот к = 2) ситуация более сложная. [c.101] Существуют по крайней мере четыре различных подхода к вопросу математического обоснования метода усреднения. Пока все четыре позволили получить достаточно скромные результаты. [c.103] Такой подход неприменим к гамильтоновым системам, поскольку для таких систем по теореме Лиувилля 1.10 (см. гл. 1) притягивающие множества (аттракторы) не существуют. [c.103] о котором идет речь, позволяет получить аналогичные результаты для систем гораздо более общих, чем система (22.3), но в этом и заключается его слабость оценка меры множества начальных условий R e p) нереальна и не содержит никакой информации о характере движения в R syp). [c.103] В примере (22.6) условие А ф О ие выполняется функция А 1 (р) = = 12 — Iia os (fi — (f2) изменяет знак при Д = /2, если а 1. Этот пример показывает, что условие А ф О невозможно заменить аналогичным условием для усредненной системы. [c.105] Доказательство неравенства (22.11) основано на том, что рассеивающее действие каждого резонанса по порядку величины составляет и что среди бесконечно многих резонансов uJi/u)2 = ш/п только самый сильный резонанс 1п (1/е) (ш,п 1п(1/е)) производит заметный эффект. Для систем с более чем двумя частотами к 2) прохождение через резонанс не исследовано. [c.105] Иначе говоря, в невырожденных гамильтоновых системах эволюции переменных действия не происходит. [c.106] ДЛЯ большей части начальных условий в общем случае). Теперь становится ясной роль условий сохранения в теореме (21.7) они препятствуют эволюции . Точно также в теореме (21.11) эволюция невозможна в связи с тем, что отображение является глобальным каноническим. [c.106] С другой стороны, понятна также роль условия невырожденности. Действительно, в случае вырождения орбита общего положения невозмущенной системы эргодична на торе меньшей размерности к но не на торе размерности п. Алгоритм теории возмущений позволяет в этом случае предсказать усреднение на торе размерности к. Но тогда эволюция становится возможной и для канонических систем. [c.106] Если полученная таким образом усредненная система интегрируема (как, например, в плоской задаче трех тел) или близка к интегрируемой (как, например, в планетном варианте задаче п тел), то можно доказать существование соответствующих квазипериодических решений исходной системы. Эти квазипериодические движения обладают к быстрыми частотами (а 1,. .., о ) 1, происходящими от невозмущенной системы, и I = п — к медленными частотами (о /г+1,. .., и п) е, происходящими от усредненной системы. [c.107] В общем случае, когда усредненная система неинтегрируема, о связи между решениями возмущенной и усредненной задач известно мало даже при Q t 1/е. Единственные результаты, которые известны, получены в рамках подходов 2 и 3 из (22.8). [c.108] Заметим еще, что даже в случае невырожденной системы остается еще исследовать движения в зонах неустойчивости (дополнении к инвариантным торам) в случае п 2 и по крайней мере при i 1/е или t 1/е . Возможно, в этих зонах существуют инвариантные (п — 1)-мерные торы эллиптического и гиперболического типа (обобщение на случай произвольной размерности периодических движений из 20). Напомним, что при п 2 инвариантные торы размерности п не делят гиперповерхность энергии Н = h размерности 2п — 1. Следовательно, сепаратрисы указанных гиперболических торов могут уходить очень далеко по этой гиперповерхности, вызывая неустойчивость системы. Аналогичный механизм неустойчивости исследуется в следующем разделе. [c.108] Вернуться к основной статье