ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эргодическая гипотеза Больцмана-Гиббса из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Источником эргодичности таких систем служат столкновения. Рассмотрим простейший случай двух идеальных круглых частиц на поверхности тора Т , снабженного евклидовой метрикой. Упростим задачу еще больше, предположив, что одна из частиц неподвижна, а другая выродилась в точку. Задача сводится к исследованию движения одной частицы на биллиарде в форме тора (см. рис. 18.1) с упругими столкновениями со стенками неподвижной окружности согласно закону угол падения а равен углу отражения /3. [c.79] Эллипс можно рассматривать как сплюснутый эллипсоид, по которому точка движется, описывая геодезическую. Отражение соответствует переходу с одной стороны такого эллипсоида на другую. Точно так же наш торический биллиард можно рассматривать как двусторонний тор с одной дыркой (окружностью). Точка по такому биллиарду движется по геодезической, а отражение соответствует переходу с одной стороны тора на другую. [c.80] Но если двусторонний эллипс есть сплюснутый эллипсоид, то двусторонний тор с дыркой есть сплюснутая поверхность рода 2. Таким образом, движение по нашему биллиарду есть предельный случай геодезического потока на поверхности рода 2. [c.80] Эллипсоид обладает положительной кривизной, интеграл от которой равен 4тг (формула Гаусса-Бонне). При сплющивании эллипсоида в эллипс, положительная кривизна сосредотачивается на границе эллипса. Для поверхностей рода 2 интеграл от кривизны равен —4тг. Следовательно, торический биллиард можно рассматривать как предельный случай геодезического потока на поверхности отрицательной кривизны вся кривизна сосредоточена на упругой окружности. [c.80] Разумеется, приведенное выше рассуждение (Арнольд [4]) не является доказательством эргодичности то же относится и к случаю, который мы рассмотрели. Однако, используя методы и характерные понятия У-систем (асимптотические орбиты, растягивающиеся и сжимающиеся расслоения). Синай [4], [5] сумел доказать, что модель Больцмана-Гиббса эргодична на каждом подмногообразии Т = onst О и, более того, является /( -системой. [c.80] Вернуться к основной статье