ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Энтропия из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " Определим теперь инвариант динамических систем, который не является спектральным инвариантом . [c.42] Сумма в правой части может быть конечной или бесконечной, так как элементы последовательности i Ai) ogfi Ai) отрицательны или равны нулю (О l Ai) 1). [c.42] Пример 12.2. Разбиение иа N элементов одинаковой меры. [c.42] Иначе говоря, Н а) есть не что иное, как взвешенный двоичный логарифм от числа элементов разбиения а. [c.43] Заметим также, что если два разбиения эквивалентны, т. е. отличаются лишь на множестве меры нуль, то они обладают одинаковой энтропией. Наконец, равенство Н а) = О означает, что все меры fJ Ai) равны нулю, кроме одной, равной единице. [c.43] Определение 12.4. Средняя энтропия разбиения а относительно разбиения /3. Пусть а = Ai г = 1,. .., г , /3 = Bj j = = 1,. .., в — два измеримых конечных разбиения. [c.43] Можно предположить, что JJ Ai) О при всех г, j. [c.43] Если считать, что В имеет меру 1 (в результате перенормировки), то это — конечное разбиение, обладающее энтропией. [c.43] Аналогичное определение существует и в том случае, если а п (3 — счетные и измеримые разбиения (приложение 18). [c.44] В приложение 18 приведено доказательство следующей теоремы. [c.44] Лемма 12.19. 8п — убывающая последовательность. [c.45] Теорема 12.24. Энтропия к (р) — инвариант динамической системы (М, (р). [c.47] Приведем способ вычисления Н (р). [c.47] Теорема 12.26 Колмогорова . Если а — образующее разбиение относительно (р, то к (р) = Н а (р). [c.47] Приведем примеры применения этой теоремы. [c.47] Пример 12.27. Схемы Бернулли. [c.47] Существует гипотеза о том, что если две Ji-системы принадлежат к одному и тому же спектральному типу и обладают одной и той же энтропией, то они изоморфны. Известно лишь, что они слабо изоморфны, каждая из них гомоморфна другой (Синай [9]). [c.48] ) г/ Б(д1,. ..) изоморфны, если обладают одной и той же энтропией и если pi qi — отрицательные степени одного и того же целого числа. [c.48] Например, схемы Бернулли (Уз, Vg, Vg, Vg, Vg) и изоморфны. Блюм и Хансон [1] обобщили этот результат. [c.48] Теорема 12.31. Энтропия К-систем . Энтропия К-системы положительна. [c.49] Вернуться к основной статье