ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дифференциальные методы в механике П. Вариньона из "Предыстория аналитической механики " В марте 1699 г. Вариньон представил академии мемуар Методы определения кривых, вдоль которых падающее тело приближается к горизонту [299], где он развивал основные положения своей работы 1695 г., продолжавшей исследования Лейбница и братьев Бернулли по определению кривых, вдоль которых движется тело, падающее по закону Галилея. [c.190] В этой работе для случая поля параллельных сил тяжести, говоря современным языком, Вариньон, используя анализ бесконечно малых, строит простейшее дифференциальное уравнение, позволяющее ему при определенных предположениях об изменении скорости найти траекторию падающей точки. Ири этом приводятся следующие рассуждения. [c.190] В работе Геометрический и общий способ создания клепси-дров или водяных часов. .. [300], представленной 29 апреля того же года, Вариньон также использует дифференциальное исчисление для нахождения кривой — образующей тело вращения, исполняющего роль емкости, из которой вытекает вода. [c.191] Обширный цикл работ Вариньона [303-308, 313] посвящен движению тела в центральном поле сил. Эти работы идейно и методически продолжили трактаты Гюйгенса Маятниковые часы (1673), О центробежной силе (1703), Начала (1687) Ньютона и работы Лейбница. [c.192] Борелли для объяснения того, почему планеты в своем вращении вокруг Солнца не падают на него. [c.193] По-видимому, интерес к теории центральных сил возник у Вариньона под влиянием знакомства с Математическими началами натуральной философии Пьютопа. Об этом свидетельствуют исследования 1700-1701 гг. [302-305], где автор достигает тех же результатов, что и его знаменитый современник (второй отдел первой книги Па-чал озаглавлен О нахождении центростремительных сил ), используя дифференциальное исчисление Лейбница, ставшее с 1698 г. основным математическим аппаратом Вариньона при изучении проблем механики. [c.193] В 1701 г. Вариньон опубликовал статью Иное общее правило центральных сил [305], где описано получение тангенциальной и нормальной составляющих ускоряющей силы при движении тела по гиперболе и параболе. На основе полученной Лопиталем общей формулы для радиуса кривизны он находит выражение для радиуса кривизны в рассматриваемой задаче. [c.194] Первая из названных работ начинается с пояснения физических причин возникновения центральных сил и напоминает содержание предыдущих публикаций по этой теме приводятся общие правила для отношений центральных сил, определение их на бесконечности, случаи действия многих сил. Ее дальнейшее содержание посвящено поиску иных способов нахождения центральных сил и их определению через известную силу тяжести тела при его движении по горизонтальной плоскости. [c.195] Автор считает, что любое криволинейное движение тела, например, движение планеты вокруг Солнца по эллипсу, в каждый момент складывается из прямолинейного движения и радиального движения к Солнцу. В результате сложения этих бесконечно малых мгновенных движений по правилу параллелограмма получается эллиптическое движение. Первая из причин такого движения — естественное стремление всех тел двигаться прямолинейно (закон инерции), причина второго движения — центральная сила, притягивающая планеты к Солнцу. Движение планеты является результатом сложения (по правилу параллелограмма) этих двух причин. [c.195] Центральная сила в каждый момент времени сворачивает тело с прямолинейного пути, по которому оно стремится двигаться. И вид кривой (траектории) определяется тем, насколько сильно тело может сопротивляться изменению его прямолинейного движения. Степень сопротивления зависит от количества движения тела, то есть произведения массы (или тяжести) на скорость. Поэтому чем больше тяжесть тела, чем больше его скорость, тем труднее ему отклониться от прямолинейной траектории. Тяжесть считается известной, постоянной, проявляющейся самой собой. Скорость — это отношение пути ко времени. Таковы физические воззрения Вариньона. [c.195] Эту формулу автор применяет для различных кривых (логарифмической спирали, спирали Ферма, спирали Архимеда, эллипса, круга, гиперболы, параболы, произвольных конических сечений), в том числе в случае кривой МЬМ с несколькими фокусами. [c.197] Вариньон получил шесть различных выражений для центробежной силы, определяемой весом, параметром к и траекторией движения. Все эти формулы очень громоздки, что связано со сложными выражениями для радиуса кривизны г, получаемыми во втором из названных мемуаров 1706 г. В нем исследователь приводит общий метод нахождения шести различных формул для радиуса кривизны произвольной гладкой кривой, используя, как и в первой работе, геометрические построения и доказательства для конечных и бесконечно малых величин. [c.197] В работе 1710 г., Об обратных центральных силах [313], Вариньон впервые четко формулирует две основные задачи динамики Возможны два вопроса, касающиеся центральных сил первый — это найти силы, под действием которых описывается данная траектория, и второй — наоборот — по известным силам найти кривые, проходимые под действием этих сил. Первый из этих двух вопросов будет здесь называться вопросом о прямых центральных силах, а второй — об обратных центральных силах [313, с. 533]. [c.197] Для сравнения отметим, что в переписке Я. Бернулли и Германна, приведенной в том же сборнике Мемуаров , мы видим, что Бернулли приводит два решения второй задачи и одно первой, Германн — только одно второй. Вариньон же получил общие формулы, дающие решение обеих проблем. [c.197] В работах 1708-1709 гг. [311], как и в предыдущей, движение тела, брошенного под углом к горизонту, рассматривается как суперпозиция двух движений вертикального падения под действием силы тяжести и движения под углом к горизонту, как следствие заданной начальной скорости. В отличие от первых работ, где не учитывалось сопротивление среды свободному падению тела, в статье Кривая движения тела в воздухе в предположении сопротивления, зависящего от скорости [311], Вариньон рассматривает самый общий случай. [c.198] Траекторию, описываемую телом, брошенным под углом к горизонту, автор называет кривой бросания ( ourbe de proje tion). Прямую, проходящую через направление начальной скорости, — линией бросания . Суть проблемы такова Пайти кривую бросания тела в воздухе, линия бросания которой образует некоторый угол с вертикалью, в предположении сопротивления среды зависящим от скорости, вызываемой сопротивлением в каждый момент времени, и при выполнении предыдущей гипотезы о проходимых телом под действием тяжести путях [311]. [c.198] Большой интерес для общей теории движения тел представляют работы Вариньона, посвященные общим законам ускоренного движения. Первая из таких работ опубликована в Мемуарах за 1693 г. С тех пор он неоднократно (1700, 1706, 1707, 1719) обращался к проблеме, признанным основоположником которой считался Галилей. Обращение Вариньона к проблемам его великого предшественника с позиций нового математического анализа было вполне закономерно. [c.200] Вернуться к основной статье