ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Развитие статики в творчестве П. Вариньона из "Предыстория аналитической механики " Сейчас этот результат представляется практически очевидным, но мнение современников и последователей автора этой теоремы было совершенно иным. В 1687 г. это был далеко не очевидный, безусловно, очень важный и, естественно, не единственный результат трактата Проект новой механики [297], автором которого был П. Вариньон. [c.173] Продолжая образование по классу теологии, Вариньон блистал безукоризненной аргументацией в диспутах, проводимых учащимися по классу философии, среди которых был не менее замечательный эрудит Шарль де Костель — будущий аббат де Сен-Пьер. Общая любовь к поиску истины, стремление доказать правоту своих взглядов не только в философии, но и математике, физике сблизило молодых людей и стало основой их многолетней дружбы. Зная о материальных затруднениях Вариньона, Шарль выделил другу 300 ливров из получаемой им ренты в 1800 ливров. [c.173] Проблема притяжения тел, несмотря па теории Декарта, Гюйгенса, Пьютопа, Лейбница и их сторонников, в конце XVII в. продолжала оставаться актуальной. Этой теме была посвящена следующая большая работа Вариньона Новые предположения о тяжести [298]. [c.175] В своих математических работах Вариньон всегда стремился к наиболее общим постановкам проблем. Его внимание, естественно, привлекли работы Лейбница, Я. и И. Бернулли, Лопиталя, Уоллиса по основам зарождающегося тогда дифференциального и интегрального исчисления. Он стал активным сторонником нового анализа. В период выступлений Ролля в Академии паук с критическими замечаниями в адрес дифференциального исчисления Вариньон эффективно использовал новый математический аппарат применительно к задачам о движении точки в центральном поле сил, внешней баллистики, гидродинамики. [c.175] Следуя традиции своего времени, нод статикой или механикой Вариньон понимал, говоря современным языком, теорию механизмов. Но вопрос об условиях равновесия механизма (рычага, клина, блока, наклонной плоскости.) в этой теории был одним из важнейших. Поэтому проблемы, обсуждаемые в Новой механике [319], в большинстве своем являются задачами современной статики. [c.176] Одно из основных понятий современной физики и механики — понятие силы — прошло многовековой процесс формирования от осознания фактов взаимодействия тел природы до возможности точного описания этого взаимодействия по величине, направлению и месту приложения. Понятие вектора, возникшее в математике в XIX в. как геометрический образ комплексного числа, безусловно, формировалось и в недрах механики. Еще в Древней Греции было установлено, что и взаимодействие тел и их движение всегда имеют некоторую величину и направление. Таким образом, свойства вектора как математического объекта были известны давно, но потребовалось более 20 веков для осознания необходимости расширения понятия числа, для геометризации этого понятия и построения теории векторов. [c.176] В 1687 г. правило параллелограмма появилось сразу в трех трактатах — Началах Ньютона, Новый способ доказательства основных теорем механики [223] Лами и Проекте Вариньона . Но-видимому, каждый из авторов пришел к правилу параллелограмма своим путем, но это совпадение не было случайным. Оно отражало главный итог многовекового развития понятия силы как меры взаимодействия между телами, связанного с общепринятыми ныне свойствами сил наличие величины, направления, места приложения, правил геометрического сложения и разложения. До векторизации понятие силы, которое в разных ситуациях именовалось мощностью , импульсом , импетусом , моментом , давлением , притяжением , отталкиванием , сопротивлением , весом , оно, выражая только интенсивность действия на тело, было сопоставимо с современными нонятиями кинетической энергии или мощности. Поэтому иными (алгебраическими) были правила операций над силами и, как следствие, нельзя было сформулировать правила замены одной системы сил другой (в том числе простейшей), ввести современные понятия момента силы, пары сил, работы, мощности. Введение векторных свойств взаимодействия тел — чрезвычайно важное событие в истории механики, приведшее к материализации абстрактного понятия силы в виде направленного отрезка и построению в XIX в. на этой основе векторного анализа и теоретической механики. [c.177] Свой первый трактат Вариньон не случайно назвал Проектом новой механики . Он планировал продолжить разработку основных идей механики и фактически занимался этим всю свою жизнь. Окончательная редакция трактата под названием Новая механика или статика, проект которой был опубликован в 1687 была подготовлена к печати и издана Ф.-Ж.Декамю в двух томах уже после смерти Вариньона. [c.177] Первый том Повой механики [319] начинается с основных определений, обозначений и аксиом. Машина или механизм определяется как приспособление для нередвижения тел. Силой Вариньон называет то, что приводит машину в движение, или все то, что способно сдвинуть тело при помош,и машины или без нее. Силы рассматриваются как геометрические величины (измеряются не фунтами, а футами и туаза-ми), оцениваются но отношению к весу (тяжести) тела и изображаются отрезками (нитями), натягиваемыми рукой в определенную сторону. [c.178] Принцип геометрического сложения сил выделен Вариньоном в особую аксиому, названную Основным принципом каково бы ни было число действующих на тело (предполагается — в одной точке) сил, направленных произвольным образом, это тело либо совсем не будет двигаться, либо будет двигаться по единственному пути вдоль линии, которая будет такой же, как если бы на тело действовала лишь одна сила в этом направлении и равная результирующей всех этих сил. [c.180] Отметим, что, говоря о величине силы, эквивалентной заданной системе сил, Вариньон не определяет ее, но постулирует лишь сам факт эквивалентности, то есть возможности замены нескольких сходящихся сил одной результирующей. А сам принцип сложения и разложения сил (леммы I и II) Вариньон доказывает в несколько этапов. Идея доказательства правила параллелограмма для двух сходящихся сил, изображаемых отрезками АВ и АС, сводится к утверждению, что перемещение тела, на которое подействовали две силы, произойдет по некоторому отрезку АП, по которому оно передвигалось бы под действием одной результирующей силы. Ио существу, рассуждение идет о сложении двух перемещений, или скоростей, с которыми двигалось бы тело в первое мгновение под влиянием каждой из сил в отдельности. Согласно 6, 7 и 8-й аксиомам сила, скорость и путь, проходимый телом под действием силы, находятся в прямой пропорциональной зависимости друг от друга. Если 7-я аксиома не вызывает вопросов, то 6-я и 8-я требуют комментариев. Возможно, автор имеет в виду силы импульсного характера и соответствующие им мгновенные скорости, возможно, говоря о скорости, он подразумевает величину ее изменения, возможно, это дань популярному еще тогда картезианству. [c.180] Важные свойства силового параллелограмма устанавливаются в следствиях лемм I и II. Например, показывается пропорциональность составляющих и их результирующей двум сторонам и диагонали (соответственно) параллелограмма, построенного из любой точки диагонали АО силового параллелограмма, подобного ему. Автор приводит геометрическое построение для нахождения результирующей многих сходящихся сил. Фактически он находит замыкающую сторону их силового многоугольника и указывает на возможность переноса отрезка, изображающего силу в твердом теле, по его линии или по линии действия силы. [c.180] Далее вводится понятие момента силы относительно точки S как произведение силы на плечо (кратчайшее расстояние от точки S до линии действия силы). В таком случае можно дать иную формулировку теоремы Вариньона (чего он, однако, не сделал) момент равнодействующей двух сходящихся сил относительно некоторой точки плоскости сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих относительно той же точки. Первая теорема трактата, называемая теперь теоремой о трех силах , доказывается пока для частного случая. [c.181] Техника веревочных машин, а также действие ветровой нагрузки на парус — вот две технические предпосылки, под влиянием которых в XVII в. возникла идея веревочного многоугольника Вариньона. Форма невесомой нерастяжимой веревки, закрепленной по краям и несущей в некоторых точках один, два и более грузов, напоминала форму паруса, вздутого ветром (в профиле). Еще более тесной становилась аналогия, когда число грузов увеличивалось бесконечно, или попросту веревка становилась весомой, с равномерно распределенным по ее длине весом. Задача о равновесии такой веревки аналогична задаче о равновесии тяжелой цепи, закрепленной по концам. Вероятно, метод графической статики — оперирование двумя взаимными плоскими многоугольниками — зародился из размышлений ученого над этой аналогией. [c.181] В нервом следствии теоремы X дается метод нахождения условия равновесия четырех параллельных сил К, Ь, М, N. Суть метода Вариньона состоит в следующем. Даны грузы К, Ь, М, ТУ и их линии действия СК, ОЬ, РМ, QN через точки С, В, Р, Q надо протянуть абсолютно нерастяжимую нить АС... В я считать, что будет иметь место равновесие такой системы. Из произвольной точки 5 плоскости (все силы расположены в одной плоскости, а так как это силы веса, они нараллельны) проводятся лучи ЗЕ, ЗР, ЗС, ЗН, ЗК параллельно сторонам веревочного многоугольника АС, СП, ОР, PQ, QB соответственно. На прямой OJ, параллельной заданным силам (веса), эти лучи отрежут куски ЕЕ, ЕС, СН, НК. Равновесие будет иметь место тогда и только тогда (по теореме X), когда заданные силы пропорциональны отрезкам ЕЕ, ЕС, СН, НК соответственно. [c.182] Терема XI распространяет этот метод построения взаимосвязанных веревочного и силового многоугольника на случай непараллельных сил на плоскости. Графостатика нового времени возродила метод Вариньона, сохранив его основу и дополнив его учение существенно новыми интереснейшими построениями и теоремами. Следствия теоремы XI раскрывают свойства цепной линии, то есть тяжелой однородной нерастяжимой цепи, или веревки, закрепленной по концам и предоставленной свободному провисанию. [c.182] Третий и четвертый разделы книги посвящены учению о равновесии сил в блоках, полиспастах и воротах. Иоследовательно усложняются рассматриваемые задачи. [c.182] Вернуться к основной статье