ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегральные инварианты Принцип Мопертюи-Лагранжа из "Лекции по теоретической механике " а = О есть стационарная точка функции Ш а). Тип стационарной точки зависит от наличия или отсутствия на исследуемом пути кинетических фокусов. [c.101] При 1 0 возможны два варианта. [c.102] Равенство (23.4) приводит к определению фокусов, справедливому как для линейных, так и для нелинейных систем. [c.103] Для нелинейных уравнений Лагранжа нет прямой связи между фокусами по определению 23.1 и единственностью решения краевой задачи (см. пример 23.2), но, как указывалось в начале параграфа, и в линейном и в нелинейном случаях наличие или отсутствие фокусов определяет тип стационарной точки действия по Гамильтону. Приведем без доказательств две теоремы , утверждения которых будут проиллюстрированы (с элементами доказательств в общем случае) на двух примерах. [c.104] Теорема 23.2 (необходимое условие минимума). Если действие но Гамильтону (21.1) нрн любом варьировании прямого пути с закрепленными граничными точками ( о, д ), ( 1, д ) достигает минимума на прямом пути, то при о отсутствуют кинетические фокусы, сопряженные точке (Ьо, д ). [c.104] Вариант С = О противоречит (23.18), вариант С фОс учетом О Т тг противоречит (23.17). Следовательно, при любом (с учетом (23.15)) нетривиальном варьировании (см. (23.18)) выполняется И (0) 0 действие по Гамильтону на прямом пути принимает строгий минимум. [c.107] Возможны три случая. [c.113] Г При О t Т кинетический фокус отсутствует. [c.113] Фокус — конечная точка решения x(t) tf = T, у (T) = 0. [c.114] Таким образом, в случае, когда фокусы на границгк и только на границах прямого нути, нрн варьировании M(i) = y t)/ (О С оо) нетривиального решения x t) ф О стационарность действия по Гамильтону соответствует точке перегиба. В прочих случаях (ii(i) = y(i)/С, О С оо для решения х ) = О или и ) ф y t)l для любого решения) — строгому минимуму (см. (23.43)). [c.116] ПГ Для фокуса выполнено О tf Т. [c.116] Для гамильтоновых систем, кроме законов сохранения — первых интегралов — имеют место законы сохранения особого вида интегральные инварианты. Потребуется понятие трубки прямых путей. [c.118] Инвариантность интегралов, 7ц, Jmi является принципом механики может быть принята за основную аксиому динамики. Теоремы, обосновывающие эту мысль, носят название обратных теорем теории интегральных инвариантов. [c.120] Теорема 24.1. Пусть трубка прямых путей образована решенп-ямп некоторой системы дифференциальных уравнений. [c.120] Пусть на изохронных контурах имеет место инвариантность интеграла Пуанкаре (24.6). Тогда система (24.7) гамильтонова, т. е. [c.121] Вернуться к основной статье