ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Малые колебания консервативной системы Постановка задачи о малых колебаниях из "Лекции по теоретической механике " Как отмечалось в 4, все определения и утверждения, сделанные для системы (4.1) в нормальной форме в координатах х, отождествлением X = д,д) переносятся на лагранжевы системы. Например, определение 4.1 устойчивости переформулируется в лагранже-вых переменных следуюш,им образом. [c.28] Аналогично переформулируется определение 4.2 неустойчивости. [c.28] Отметим, что положению равновесия для механической системы соответствует с учетом (7.2) начало координат в фазовом пространстве Л (д,д) под е-окрестностью подразумевается в зависимости от контекста окрестность начала координат в фазовом или координатном пространстве. [c.28] Задача Лагранжа. Исходя из свойств потенциальной энергии П(д), сделать вывод о характере устойчивости положения равновесия консервативной системы. [c.29] Любой результат в рамкгк задачи Лагранжа носит следуюш,ий характер если функция П(д) обладает онределенными свойствами, то положение равновесия устойчиво (неустойчиво) нрн любой кинетической энергии, удовлетворяющей свойству (7.1). [c.29] Тогда д = О — устойчивое но Ляпунову положение равновесия. [c.29] Условие (7.5) — достаточное условие устойчивости. Как показывает следующий (несколько экзотичный) пример, из факта устойчивости не следует (7.5) — строгий минимум потепциальпой энергии. [c.29] Пример 7.1. Точка массы т находится в гладком многоям-ном ущелье , определенном (2п— 1) раз непрерывно дифференцируемой функцией у = в1п (1/ж ), у — вертикаль, х — горизонталь (рис 7.1). [c.29] Из постановки задачи видно, что для любой е-окрестности, найдется такая ямка вблизи начала координат, что при соответствую-ш,ем ограничении на скорость эту ямку точке не преодолеть, т. е. нулевое положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Потенциальная же энергия Я (ж) = sin (l/a ) в любой Д-окрестности донолнительно к жо = О обращается в нуль при xi = 1/л/тт, где п — такое натуральное число, чтобы выполнялось жх Д. Таким образом устойчивость есть, а требование (7.5) теоремы 7.1 нарушено. [c.30] Приведем без доказательства несколько достаточных условий неустойчивости положения равновесия. Как и ранее, предполагается, что в положении равновесия выполняются равенства (7.2) и (7.4). В формулировка используется вид (7.3) разложения Я(д) в окрестности q° = 0. [c.30] Условие (7.6) теоремы 7.2 допускает следующую эквивалентную формулировку в положении равновесия у потенциальной энергии отсутствует минимум (в том числе и нестрогий), и этот факт обнаруживается но слагаемым второго порядка в разложении (7.3). Отсутствие минимума следует из (7.6) для квадратичной формы Я2 справедливо П2 ад ) = а П2 д ), поэтому в любой окрестности найдется положение ад , для которого выполняется П(ад ) 0. [c.30] Тогда положение равновесия д = О неустойчиво. [c.31] Как и в условиях теоремы 7.2, отсутствие минимума следует из однородности функции П(д) П(ад ) = а П(д ). [c.31] Пример 7.2. Приведем несколько примеров потенциальных энергий П(д) и суждения об устойчивости положения равновесия д° = 0. [c.31] у кого пример 7.2 е) вызвал удивление, напоминаем правило игры в задаче Лагранжа. Любое утверждение подразумевает ... при любой удовлетворяюш,ей (7.1) кинетической энергии Т . [c.31] Пример 7.3. Кольцо массы т может двигаться по гладкой окружности радиуса К, окружность враш,ается вокруг вертикальной оси у с постоянной угловой скоростью ш. Найти положения относительного равновесия кольца и исследовать их на устойчивость (рис. 7.2). [c.32] Характер экстремума определяется второй производной n if) = mR g os If — 2uP R os if + uj R). Ответ зависит от параметров задачи. [c.32] Условие 8.1. Квадратичные формы (8.1) и (8.2) положительно определены, т. е. [c.35] Первое условие (Т 0) есть следствие свойств квадратичной формы относительно обобщенных скоростей в кинетической энергии. Второе условие (П 0) необходимо во избежание нарушения исходного предположения об устойчивости положения равновесия. [c.35] Вернуться к основной статье