ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Якоби вычисления корней фундаментального уравнения из "Небесная механика " Для вычисления этих корней необходимо отыскать косвенный и более короткий путь. Астрономы для этого обычно пользовались методом, который подходит вследствие специфической формы нашей планетной системы, и заключается в том, что в первом приближении вековые возмущения внутренних и внешних планет могут быть вычислены отдельно. Хотя таким образом достигают правильного определения корней, метод все же нуждается в математическом обосновании и с точки зрения вычислениГс уступает методу Якоби, к изложению которого мы теперь перейдем. [c.297] Если бы все элементы определителя, которые стоят вне диагонали, были бы равны нулю, то корнп (2) были бы просто равны [i, i] [i = 1, 2,. .., 1. Метод Якоби заключается в выборе соответствующего преобразования, в результате которого элементы, не стоящие на главной диагонали, уменьшаются, а отрицательные числа, расположенные на главной диагонали, сколько угодно близко приближаются к значениям корней. [c.298] Между определителями (2) и (10) имеется существенное различие сумма квадратов элементов, расположенных вне главной диагонали, в (10) будет меньше соответствующей суммы прежнего определителя на сумму квадратов [j, А 1 и [к, 1, т. е. на 2 [А-, гр, а сумма квадратов диагональных элементов на ту же величину возрастает. Под элементами, расположенными на диагонали, будем подразумевать те числа в (2) или (10), перед которыми стоит знак минус. [c.300] Это предложение вытекает непосредственно из уравненпй (8) и (9), которые заключают в себе суть метода Якобп. Элементы i-ii и fe-й строк (соответственно столбцов) изменяются в результате преобразования, а остальные элементы им не затрагиваются. [c.300] Если сделать аналогичное преобразование новых элементов, то снова сумма квадратов внедиагональных элементов уменьшится на удвоенную сумму квадратов уничтожаемых элементов путем повторного применения такого приема эту сумму можно сделать меньше сколь угодно малого наперед заданного числа. Естественно, что в приложениях всякий раз преобразованием выгодно уничтожать наибольший из встречающихся элементов, находящихся вне диагонали. [c.300] Преобразования продолжаются до тех пор, пока числа, расположенные на главной диагонали, не будут достаточно близки к корням, о чем можно судить непосредственно по решению. Окончательное вычисление корней можно еще ускорить при помощи данного Якоби метода последовательных приближений. [c.300] Для ТОГО чтобы было более легко судить о методе, рассмотрим вкратце два оервых приближения в задаче, исследованной Якоби. [c.301] Отрицательные числа на диагонали выражены в секундах, для остальных указаны логарифмы. [c.301] Из приведенной таблицы видно, что наибольший элемент, расположенный вне диагонали, находится в четвертой строке и пятом столбце. Второй по величине элемент мы находим в первой строке второго столбца. Все остальные элементы меньше единицы. Мы хотим получить преобразованную систему, в которой упомянутые элементы отсутствовали бы. [c.301] При следующем поиближении следовало бы уничтожить элемент (О, I), который является здесь наибольшим. [c.302] Вернуться к основной статье