ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами из "Небесная механика " Мы будем заниматься главным образом системами линейных дифференциальных уравнений, но сначала кратко воспроизведем основы исследований Флоке. [c.23] Позднее мы исследуем, как находится такая система коэффициентов на практике. [c.24] Функции, которые определены так, что они вновь принимают то же самое значение, умноженное на постоянный множитель s, когда аргумент увеличивается на один полный период, называются периодическими функциями второго рода. Это название ввел Эрмит, впервые исследовавший такие функции при изучении уравнения Ламе. [c.24] Мы не будем останавливаться на этом вопросе, так как он должен быть рассмотрев при исследовании систем дифференциальных уравнений. Такая система будет исследована методом, который подобен методу Флоке. Так как уравнение (1) всегда можно свести к этому случаю, то перейдем к рассмотрению этого общего случая. Определение формы интеграла для этого случая дал Пуанкаре в своих Methodes nouvelles [2]. [c.26] Величины щ названы Пуанкаре характеристическими показателями. Они играют важную роль при исследовании устойчивости в механике. [c.28] Если фундаментальное уравнение С ( ) = О обладает кратными корнями, то при известных условиях форма решения будет другой. [c.28] Из уравнений (10) можно определить отношения коэффициентов. Следовательно, один из них всегда будет произвольным и будет играть роль постоянной интегрирования. Если бы уравнение б (в) = О обладало двойным корнем, а все миноры первого порядка обращались бы в нуль, то можно было бы, как доказано в 1,два из соответствующих коэффициентов В взять произвольными. Тогда для этого корня имеются два решения, которые являются периодическими функциями второго рода с одними и теми же множителями. [c.28] Если не все миноры первого порядка обращаются в нуль, то природа решения может быть выяснена следующим путем. [c.28] Это уравнение также должно иметь корень, равный х. [c.29] Коэффициент А не обязательно отличен от нуля. Если А — О, то как 02i(O. так и 0i (O суть периодические функции второго рода. [c.30] Если х — тройной корень, то появляются члены, умноженные на и т. д. Этот вопрос рассмотрен в трактате Флоке [для уравнения (1)]. [c.30] При практическом применении этой теории важную роль играет построение уравнения для s G s) = 0. Поэтому мы остановимся более подробно на этом вопросе. Задача распадается на две 1) нахождение фундаментальной системы решений, 2) определение коэффициентов Ai для этой фундаментальной системы. [c.30] При помощи (17) коэффициенты Aij будут определены, если только заданы величины (0) и (2я). Остается еще найти эти величины. [c.32] Функции ipi,- образуют фундаментальную систему решений уравнений (8). Но такую фундаментальную систему всегда можно найти в форме степенных рядов по t. Этот метод даже на практике не всегда наиболее удобен, но он всегда приводит к цели. На одном частном примере мы укажем другой путь, который в астрономии обычно более быстро приводит к цели. [c.32] Вернуться к основной статье