ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Термодинамика необратимых процессов из "Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды " Вообразим себе теперь, что посредством охлаждения от системы отведено настолько много энергии, что ее кинетическая энергия становится пренебрежимо малой. В ходе этого процесса макросистема приближается к состоянию, в котором принцип энергии применим в форуме (2.2) и сравнение с (2.1) показывает, что в пределе внутренняя энергия становится функцией II(х ) от одних только механических координат. Из второго уравнения (3.43) следует, что одновременно температура стремится к нулю. Поэтому нуль абсолютной температуры соответствует состоянию, в котором молекулы не обладают кинетической энергией. [c.52] С ПОМОЩЬЮ некоторого простого дополнительного предложения. [c.53] 6 было показано, что любой квазистатический процесс, включающий изменение переменных х, и не вполне обратимый, приводит к появлению потока в фазовом пространстве, эквивалентного некоторому порождению энтропии /5 0. Это порождение энтропии может зависеть от состояния системы и ее истории иначе говоря, оно полностью определяется приращениями (1х и может быть выражено, согласно (3.40), через температуру и элементарную работу диссипации. На определенном этапе процесса и dW зависят, таким образом, от приращений йх . [c.53] Из этого принципа вытекает ряд следствий. При обсуждении ограничимся случаями, в которых диссипативная функция непрерывна. Это ограничение физически оправдано, поскольку следует ожидать, что всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью данную функцию В х ) непрерывной функцией. [c.55] Для простоты мы будем вообще пользоваться терминами поверхность и плоскость вместо терминов гиперповерхность п гиперплоскость . [c.55] Мы теперь свяжем с каждой стороной Е определенный знак, так чтобы скалярное произведение возрастало при переходе через плоскость с отрицательной стороны на положительную. Поскольку действительные х . максимизируют произведение на (4.6), все точки этой поверхности, кроме точки Р, лежат с отрицательной стороны плоскости Е. [c.56] Рассмотрим теперь все возможные направления V, и предположим, что на поверхности (4.6) существует точка, через которую нельзя провести пи одной плоскости, обладающей только что описанными свойствами. Тогда для данного значения О существует вектор скорости, который, в силу принципа наименьших необратимых сил, не соответствует никакому вектору необратимой силы. Такая возможность отпадает по физическим причинам. Отсюда следует, что каждая точка поверхности (4.6) ле-н ит по крайней мере на одной плоскости Е с описанными выше свойствами, а это означает, что поверхность (4.6) является выпуклой. [c.56] Пусть внешняя сторона поверхности (4.6) с Л/ О определяется тем, что ей принадлежат точки, лежащие с положительной стороны по крайней мере одной из плоскостей Е, и пусть точки, лежащие по отрицательную сторону всех этих плоскостей, определяют внутренность поверхности (4.6). Тогда произвольный пхаг от Р в направлении ведет во внешность поверхности (4.6). Там, в силу принципа наименьших необратимых сил, ВфМ. Отсюда следует, что В изменяется монотонно при пересечении -поверхностей в направлении изнутри во вне. Прослеживая это изменение от начала координат О (где = 0), мы видим, что оно представляет собой возрастание. [c.56] Ясно теперь, что поверхность О = М охватывает все поверхности с О С М и что вне некоторой области В существует не более одной / -поверхности для данного значения М. Кроме того, из этого следует, что область В выпуклая. [c.57] Хорошо известно (см., например, [34]), что, если сила убывает с увеличением скорости то могут развиваться автоколебания. Это означает, что некоторые скорости неустойчивы. Использование понятия устойчивости в связи с (4.9), таким образом, оправдано. Кроме того, рассмотренный пример показывает, что большинство практически интересных систем устойчиво. [c.58] Для того чтобы доказать, что верно и обратное нред-яожение, будем исходить от вектора Х 1фО на рис. 4.1. Векторы скорости, допускаемые последним принципом, имеют свои конечные точки на поверхности (4.14), где функция F X) ) определяется соотношением (4.13) и, в силу этого, непрерывна. Принцип устанавливает, что истинные скорости х максимизируют функцию D x ), а следовательно, и произведение на поверхности (4.14). При этом не может быть более одного решения. Обозначим соответствующие точки в пространстве скоростей через Р, Е пусть itf О обозначает общий максимум функций D(x ,) и достигаемый во всех точках Р. Каждая из этих точек лежит на поверхности (4.6) и в то же время fia плоскости (4.7). В силу принципа максимума скорости работы диссипации, поверхность (4.14) не имеет точек на положительной стороне Е, и ее единственные точки, лежащие на Е, суть точки Р. Если система устойчива, любой шаг от точек Р в радиальном направлении приводит к положительным значениям функции F. Поэтому функция F xi ) положительна на положительной стороне Е. Если бы поверхность D—M имела точку на положительной стороне Е, то из (4.13) следовало бы, что в этой точке i 0. Поскольку такая возможность, как только что было показано, не имеет места, поверхность D=M, 8а исключением точек Р, лежит на отрицательной стороне Е. Отсюда следует также, что на поверхности D=M произведение X h/ достигает максимума в точках Р. [c.59] Последнее утверждение справедливо также и для про изведения Если теперь рассматривать 0=М 0 и л как заданные, то можно распорядиться т таким образо.м. чтобы было удовлетворено соотношение (4.4). Но тогл из (4.4) и (4.5) вытекает, что на поверхности истинные Хд, минимизируют величину необратимой силы удовлетворяющую добавочному условию (4.4). Это 1 составляет содержание принципа наименьшей необрати мой силы. Таким образом, для устойчивых систем эт два принципа эквивалентны. [c.60] В силу (4.3), выражение скорость работы диссипации можно в формулировке последнего принципа заменит на скорость порождения энтропии . Поэтому этот прин цип можно сформулировать так же, как принцип макси мальной скорости порождения энтропии. [c.60] В этих публикациях важность устойчивости для обеих вер сий последнего пршщииа еще не была осознана. [c.60] Таким образом, в устойчивой системе необратимая сила всегда меньше, чем градиент диссипативной функции. [c.63] Это уравнение эквивалентно (4.17) и, таким образом, приводит к (4.20). [c.63] Знак равенства выполняется всякий раз, когда Хи представляет собой другое решение. [c.65] Очевидно, что (4.30) и (4.31) представляют собо11 обращение основных результатов, полученных в п. 4.2. Это обращение, однако, является неполным, так как необратимые силы Х при/3 М все еще исключены. [c.65] Вернуться к основной статье