ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ЭЛЕКТРОННЫЕ состояния Структура Зои из "Теория твёрдого тела " В последнем параграфе предыдущей главы мы показали, каким образом благодаря существованию группы трансляций появляются энергетические зоны в одномерном кристалле. Теперь мы сначала обобщим такое описание на случай трех измерений, а затем более подробно рассмотрим природу самих энергетических зон. [c.69] Мы уже определили для произвольной структуры примитивные ректоры трансляций Т], Тг и Т3. Группа трансляций кристалла содержит всевозможные суммы целых чисел этих трех трансляций. В общем случае векторы кристаллической структуры могут иметь различные длины и не обязательно должны быть ортогональными. Однако мы требуем, чтобы они не были компланарными. [c.69] Подставляя (2.1) и (2.3) в (2.2), легко убедиться, что эти представления имеют такую же таблицу умножения, как и группа трансляций, и являются поэтому представлениями этой группы. Для каждого из N1 последовательных целых значений имеется свое представление. Таким образом, существует столько неприводимых представлений вида (2.2), сколько операций симметрии в группе трансляций, и представления (2.2) исчерпывают все неприводимые представления данной группы трансляций. [c.70] Совокупность векторов т 1 + т г + образует решетку в пространстве волновых векторов ). Величины кь кг и кз являются примитивными векторами трансляций этой решетки. [c.71] Л ы уже видели, что собственную функцию электрона (схематически изображенную на фиг. 20, б) можно представить в виде произведения блоховской функции Ка и плоской волны ехр (1к-г) (фиг. 20, виг). Плоская волна (так же как и Ыл) удовлетворяет периодическим граничным условиям. Так как функция имеет полную периодичность решетки, ее также можно было бы разложить в ряд Фурье, содержащий только плоские волны, отвечающие векторам обратной решетки. Отсюда следует, что собственную функцию можно разложить в ряд Фурье, содержащий плоские волны с волновым вектором к и волновыми векторами, отличающимися от к на вектор обратной решетки эти волновые векторы как раз и генерируют то представление, по которому преобразуется функция я)). [c.71] Каждая вз зон вписана в куб со стороной 4я/а, где а — ребро кубической ячейки реальной решетки. В случае гранецеитрированной кубической решетки объем зоны Бриллюэна равен половине объема куба, для объемиоцентрированной решетки — одной четверти объема куба. [c.73] Мы уже видели примеры таких зон для одного измерения. Прежде чем переходить к трехмерному случаю, полезно, быть может, получить соответствующие результаты для двух измерений. [c.76] Рассмотрим двумерную квадратную решетку с периодом а. Можно показать, что векторы обратной решетки имеют величину 2п/а и лежат в направлениях примитивных трансляций решетки. Зона Бриллюэна представляет собой квадрат, и энергия в энергетической зоне есть функция двух компонент к. Таким образом, мы можем представить энергию в виде поверхности, откладывая ее в третьем измерении как функцию двумерной переменной к. Эго показано на фиг. 22 для двух возможных ситуаций. На фиг. 22, а изображены две зоны, которые отделены друг от друга при всех значениях волнового вектора. Здесь же вверху изображены зависимости энергии двух зон от волнового вектора, рассчитанные вдоль трех линий в зоне Бриллюэна линии, выходящей из угла зоны (обозначаемого через в центр (Г), из центра (Г) в середину стороны квадрата (X) и из X в. Результаты расчетов энергетических зон обычно традиционно изображаются в виде подобных кривых для линий симметрии в зоне Бриллюэна. [c.76] Обратим внимание, что энергия второй зоны в точке X лежит ниже, чем энергия первой зоны в точке W. В подобных случаях говорят о перекрытии зон. Такое перекрытие оказывается важным в металлах. В результате мы не должны заполнять электронами только нижнюю зону, оставляя верхнюю пустой. Мы увидим, что обязательно возникающие при этом частично заполненные зоны существенны для свойств металла. [c.76] На фиг. 22, б показаны две зоны, вырожденные в точке W, но не перекрывающиеся во всех остальных точках зоны Бриллюэна. Такой контакт часто возникает и в реальных кристаллах. [c.76] Знание группы трансляций кристалла позволяет нам установить структуру энергетических зон, однако, чтобы найти зависимости (к), мы должны, конечно, прибегнуть к детальным расчетам. [c.76] Вернуться к основной статье