ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Группа трансляций — одно измерение из "Теория твёрдого тела " В 2 этой главы мы обсуждали группу трансляций трехмерных кристаллов. Эта группа будет использована в 1 гл. И при изучении структуры электронных состояний в трехмерных кристаллах. [c.57] Полезно, однако, предварительно изучить электронные состояния в одномерном кристалле. Принципиальные черты одномерной и трехмерной проблем не отличаются, а вычисления в одномерном случае намного проще, так что мы только выиграем, изучив сначала эту простую модель. [c.57] Такой способ рассмотрения эквивалентен наложению периодического граничного условия на линейную цепочку, состоящую из N атомов. Используя представление о периодическом граничном условии, можно сказать, что трансляция, выводящая атом за пределы кристалла через один конец, переносит его обратно внутрь кристалла через другой конец. В трехмерном случае проще пользоваться периодическими граничными условиями, а не представлять себе, что трехмерный кристалл сворачивается в кольцо в четырехмерном пространстве. [c.58] В рассматриваемой нами цепочке имеется всего N конфигураций атомов, которые можно получить из исходной с помощью приведенных выше трансляций, поэтому припишем каждой конфигурации номер п, где п пробегает целые значения от О до N — . Можно не принимать во внимание трансляции, соответствующие другим значениям п, так как они, очевидно, эквивалентны уже учтенным. Например,трансляция сп = N переводит атомы кристалла в исходное положение, и поэтому можно считать, что эта трансляция совпадает с тождественной, соответствующей значению л = 0. [c.58] Нетрудно убедиться, что определенные выше N трансляций образуют группу. Произведение трансляций определяется просто последовательным выполнением соответствующих преобразований. Так как каждая трансляция переводит кристалл в положение, не отличимое от исходного, то это верно и для произведения трансляций, т. е. произведение также входит в группу. Единичный элемент есть просто трансляция с л = 0. Очевидно, что умножение ассоциативно и что обратные трансляции содержатся в группе. [c.58] Здесь символ х есть целое число, нумерующее представление. В рассматриваемой группе существует N различных трансляций и, следовательно, N значений х определяют различные представления, которые исчерпывают все неприводимые представления. [c.58] Обычно принимают, что индекс х пробегает значения от —N12 до N12. Если N — нечетное число, то берутся все положительные и отрицательные целые числа в этом интервале (и нуль). Если N — четное число, то учитывается один из двух концов интервала. Таким образом, в обоих случаях мы можем написать —N/2 х N12. [c.59] Электронные состояния данной системы можно выбрать таким образом, что каждое из них преобразуется по одному из неприводимых представлений (т. е. электронные состояния образуют базис неприводимых представлений). Для более удобной записи этих представлений введем волновое число к = 2nvJ(Na) и обозначим собственное состояние, преобразующееся по А -му представлению, через т )й. [c.59] Такую запись называют представлением в форме Блоха функции часто называют блоховскими функциями ). [c.59] Эти функции носят имя Блоха, так как он первый их ввел [5]. [c.59] Нетрудно непосредственно проверить, что, как и требуется, эта функция инвариантна относительно всех трансляций, совмещающих решетку с собой. Каждому состоянию свободного электрона соответствует теперь некоторое значение приведенного волнового числа, а зависимость энергии электрона от приведенного волнового числа можно представить, как показано на фиг. 17. [c.60] Заметим, что мы изобразили собственные значения энергии с помощью непрерывных кривых, называемых энергетическими зонсми (полосами). Такое приближение разумно для больших систем (как для свободных электронов, так и для электронов в кристалле), в которых разрешенные значения волнового числа чрезвычайно близки друг к другу. Так, для цепочки, состоящей из 10 атомов (что соответствует типичному межатомному расстоянию в макроскопических кристаллах), разрешенные значения волнового числа 2лпШа остаются в области приведенных волновых чисел для 10 значений п. Поэтому переменная к квазинепрерывна и можно считать зоны непрерывными функциями к. [c.61] Собственные состояния свободного электрона представляют собой набор энергетических зон, каждая из которых соответствует волновым числам, принадлежащим зоне Бриллюэна, т. е. области в пространстве волновых чисел, занимаемой приведенными волновыми числами. О состоянии, которое имеет наименьшую энергию при заданном значении волнового числа, говорят, что оно лежит в первой энергетической зоне. Следующее состояние с наименьшей энергией лежит во второй зоне и т. д. Таким образом, состояние теперь определяется заданием приведенного волнового числа и номера зоны. Для описания состояний свободного электрона такой способ неоправданно сложен, однако для задания состояний в кристалле он очень удобен. [c.61] Теперь мы покажем, что в слабом периодическом потенциале функции и не постоянны, а энергия каждого из состояний несколько сдвигается по отношению к энергии свободного электрона. В частности, оказывается, что в точках л/а и О, где зоны были вырожденными, они теперь отделяются друг от друга. Таким образом, в случае почти свободных электронов в кристалле энергетические зоны можно схематически представить в том виде, в каком они изображены на фиг. 18. Оказывается, что в простых металлах эффект периодического потенциала действительно очень мал, и поэтому такое представление о зонах почти свободных электронов вполне оправданно. [c.61] Можно рассмотреть зоны нашего одномерного кристалла и в другом предельном случае, когда потенциал, создаваемый ионами, очень велик. Если потенциал соответствует притяжению и достаточно велик (или если атомы расположены достаточно далеко друг от друга), то можно представить себе, что каждый ион образует некое атомоподобное состояние. Волновую функцию такого состояния изолированного одномерного атома, находящегося в точке па, можно записать в виде я)) (лс — па). Вполне законно описывать состояния рассматриваемой нами системы с помощью набора из таких функций Ы, каждая из которых соответствует энергии о- Можно, однако, составить эквивалентную систему состояний, представленных в блоховской форме. Так как атомные состояния вырождены. [c.61] Если мы несколько ослабим потенциал, позволив атомным волновым функциям перекрываться приближение сильной связи), то мы увидим, что выписанные только что блоховские функции остаются хорошим приближением к точным, но энергия начинает зависеть от волнового числа. Однако пока перекрытие волновых функций мало, ширина энергетической полосы остается малой. В дальнейшем мы увидим, что наличие узких полос, соответствующих сильной связи, характерно для зонной структуры изоляторов. Разумеется, при дальнейшем уменьшении потенциала эти полосы, постепенно деформируясь, превратятся в конце концов в энергетические полосы почти свободных электронов, обсуждавшиеся выше. В тех случаях, когда приближение сильной связи пригодно для описания энергетических полос в реальных кристаллах, мы можем связать каждую полосу с атомным состоянием, из которого она произошла. Так, в случае кристалла хлористого натрия можно говорить о Зр-полосах хлора и Зв-полосах натрия. В 7 гл. И мы, однако, увидим, что в случае очень узких полос (как для хлористого натрия) есть все основания полагать, что зонная картина вообще теряет смысл. [c.62] Обозначим смещение п-го иона как и . Задание N таких смещений полностью определяет состояние де рмации этой системы. [c.63] Как и при описании колебаний молекулы, можно ввести нормальные координаты, являющиеся линейными комбинациями смещений отдельных ионов, и, как и в случае молекулы, нормальные координаты преобразуются по неприводимым представлениям группы симметрии системы, в данном случае по представлениям группы трансляций. Так как представления этой группы одномерны и определяются заданием волнового числа к, мы можем связать с каждой нормальной модой волновое число к, относящееся к неприводимому представлению, по которому эта мода преобразуется. [c.63] Таким образом, каждому неприводимому представлению соответствует одна мода, преобразующаяся по этому представлению. [c.63] Теперь можно найти вид нормальных мод, как это было сделано для молекулярных колебаний. Рассмотрим моду, преобразующуюся по представлению с волновым числом к. Определим трансляцию деформированной цепочки как перенос ее в деформированном состоянии на соответствующий вектор трансляции. Если трансляция соответствует переносу на расстояние, равное та, то смещение нона, занимающего л-е положение после трансляции, будет равно смещению ы т до трансляции. Так как смещения преобразуются но представлению с волновым числом к, то каждое смещение при этой трансляции приобретает множитель е- , т. е. [c.63] Вернуться к основной статье