ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вынужденные динамические перемещения при продольных колебаниях призматических стержней из "Колебания в инженерном деле " 15 обсуждались численные решения для систем с одной степенью свободы, при действии возмуш,ающей силы, которые нельзя было описать аналитическими выражениями. В двух основных подходах, использовавшихся там, применялись кусочно-постоянные и кусочно-линейные интерполирующие функции. Указанные подходы здесь будут применены в методе нормальных форм колебаний при исследованиях неустановившегося поведения систем со многими степенями свободы. Как и в предыдущих параграфах, предполагаем, что имеет место пропорциональное демпфирование или демпфирование по формам колебаний. Поскольку здесь потребуется большой объем вычислений, предполагается, что методы, описываемые в данном параграфе, будут применяться с использованием ЭВМ. [c.315] Выражения (4.155a) и (4.1556) представляют рекуррентные формулы для вычисления динамических перемещений при колебаниях системы с демпфированием по каждой нормальной форме колебаний в конце каждого /-Г0 шага по времени. Они также служат начальными условиями для перемещения и скорости в начале (/ + 1)-го шага. Применяя эти формулы последовательным образом, можно проследить историю изменения во времени динамических перемещений, соответствующих каждой нормальной форме колебаний. Затем по известным соотношениям полученные на каждом шаге перемещения преобразуем к исходным координатам. [c.316] Однако следует иметь в виду, что, рассматривая абсолютное демпфирование, необходимо использовать выражения (4.144) и (4.147), полученные в предыдущем параграфе. [c.316] На нижней части рис. 4.5 представлены графики изменения во Бремени перемещений х и Хд. Видно, что основной вклад в суммарное динамическое перемещение дает первая форма колебаний, период которых равен 14,1 с. Для выявления на этих графиках локальных изменений, обусловленных влиянием колебаний третьей формы, необходимо использовать достаточно малый шаг по времени. В данном примере период собственных колебаний по третьей форме равен примерно 3,5 с при постоянном шаге At = 0,5 с. [c.317] При записи этих выражений подразумевалось, что в системе нет абсолютного демпфирования. Далее следует использовать выражения (4.144) и (4.147). [c.320] Все сооружения и машины состоят из частей, каждая из которых обладает как массой, так и жесткостью. Во многих случаях эти части можно путем идеализации представлять как сосредоточенные в точке массы, абсолютно жесткие тела или деформируемые невесомые элементы. Подобные системы обладают конечным числом степеней свободы, поэтому их можно исследовать с помощью методов, описанных в предыдущих главах. Однако некоторые системы можно исследовать и в более строгой постановке, не прибегая к дискретизации аналитической модели. В данной главе будут рассматриваться упругие тела, чьи массовые и деформационные характеристики распределены непрерывным образом. В число элементов конструкций, которые можно рассматривать подобным образом, входят стержни, валы, канаты, балки, простые рамы, кольца, арки, мембраны, пластины, оболочки, а также трехмерные тела. Многие из задач, связанных-с этими элементами, будут здесь обсуждаться подробно, но вопросы, связанные с оболочками и трехмерными телами, рассматриваются как выходящие за рамки этой книги . Очень трудно исследовать с позиций упругих сред такие геометрически сложные конструкции, как каркасы, арки, пластины с вырезами, фюзеляжи самолетов, корпуса судов и т. д. В подобных случаях необходимо использовать дискретные аналитические модели с большим, но конечным числом степеней свободы . [c.322] Рассматривая колебания упругих тел, будем предполагать, что материал этих тел однороден, изотропен и подчиняется закону Гука. Кроме того, перемещения достаточно малы, чтобы рассматривать поведение при динамических возмущениях как линейно упругое. Хотя в данной главе демпфирование не рассматривается, оно может быть легко учтено с помощью коэффициентов демпфирования по соответствующим формам колебаний, как это делалось в п. 4.8. [c.323] В этом решении i принимает только нечетные целочисленные значения, следовательно, перемещения при колебаниях являются симметричными относительно поперечного сечения, лежащего в середине пролета стержня. [c.327] Постоянные Л и Б в каждом конкретном случае определяем из начальных условий (при I = 0). [c.328] На рис. 5.2, б—г показаны вклады первых трех форм колебаний в суммарное динамическое перемещение стержня. Можно отметить, что амплитуды различных форм колебаний быстро уменьшаются с увеличением i. Перемещение на незакрепленном конце стержня получаем подстановкой х = I в выражение (у). [c.329] Пример 1. Найти нормальные функции задачи о продольных колебаниях стержня длиной I, у которого оба конца жестко закреплены. [c.329] Пример 2. Стержень, жестко закрепленный по обоим концам, нагружается в середине пролета сосредоточенной продольной силой Р (рис. 5.3, а). Исследовать колебания, которые возникнут в стержне, если внезапно убрать силу Я. [c.329] Пример 3. Движущийся вдоль оси х с постоянной скоростью V стержень останавливается при внезапном закреплении его конца д = 0. Таким образом, начальные условия имеют вид (и) =о = О и (г1) о Найти выражение для возникающих при этом динамических перемещений. [c.330] Волна сжатия, которая зарождается на левом конце стержня в момент остановки при t = О, распространяется вдоль стержня со скоростью айв момент времени t = lia она достигает незакрепленного конца стержня. В этот момент скорости всех точек стержня равны нулю, а стержень равномерно растянут так, что деформация растяжения е = via. [c.331] В этот момент времени перемещение равно удлинению стержня при действии постоянной растягивающей силы Р. [c.336] Подставляя эти функции в представление (5.8), можем найти искомые динамические перемещения при вынужденных колебаниях стержня. Амплитуда колебаний соответствующего типа становится большой, когда частота со достигает значения, равного одной трети собственной частоты колебаний стержня. [c.337] Вернуться к основной статье