ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Итерационный метод определения частот и форм колебании из "Колебания в инженерном деле " Обсужденный в п. 4.2 метод определения собственных частот колеблющихся систем обычно используется только в тех случаях, когда найти корни характеристического уравнения не представляет труда. Здесь также возможно применение различных численных методов , но они обычно эффективнее в случае систем с большим числом степеней свободы. Обсуждаемый в данном параграфе подход иногда называют методом степенных рядов или методом Сто-долы—Вианелло, но, как правило, его именуют просто итерационным методом. Этот подход удобно применять для работы с матрицами невысокого порядка, используя при расчетах логарифмическую линейку или настольный калькулятор, но решения больших задач следует программировать, чтобы проводить вычисления на цифровых ЭВМ. [c.288] Итерационный метод наиболее полезен при решении таких задач, в которых требуется определять только низшие частоты и соответствующие им формы колебаний. Если же требуется находить все собственные значения и собственные векторы колеблющейся системы. [c.288] Подобную процедуру повторяем до тех пор, пока собственные значения и соответствующий им собственный вектор не будут определены с желаемой степенью точности. [c.290] Таким образом, к-е. приближение для Яг, задаваемое выражением (4.101), как это видно из выражения (о), принимает значения, близкие к 1. Благодаря указанному условию сходимости итерационного процесса численно наибольшее собственное значение называют основной собственной частотой, а соответствующий этому значению вектор Хд 1 — основным собственным вектором. [c.291] В качестве достаточно хорошего приближения для основной формы колебаний можно было бы взять суммы строк мартицы А. В результате получается вектор перемещений, обусловленных статически приложенными силами, которые, как и в методе Релея (см. п. 1.14), пропорциональны массам. Непрямой способ применения того же самого приема состоит в задании представления (Х)1 = 1 1 1 в качестве первого приближения для искомого вектора. Умножая вектор (Х)1 слева на матрицу А, согласно выражению (4.100) получим вектор (У)1 = отб 3 5 6 . Первое приближение для Х1, как следует из выражения (4.101), можно определить тремя различными путями. Для удобства проведения дальнейших вычислений разделим последнюю компоненту вектора (У)1 на последнюю компоненту вектора (Х)х, что дает (Хх) = (уп)11(хп)1= 6т6. Прежде чем перейти ко второму шагу итераций, пронормируем вектор (У)1 путем деления каждой его компоненты на последнюю компоненту [см. выражение (4.102)1, в результате получаем представление для второго приближения вектора (Х)а = 0,500 0,833 1,000 . Когда используется нормирование подобного типа, делитель Ьх = 6/пб приближенно равен собственному значению. [c.292] Предположив, что нам ничего неизвестно относительно второй формы колебаний, возьмем первое приближение для вектора перемещений в виде (X)i = 1 1 1 , что является плохим приближением для действительного значения собственного вектора. Более разумный выбор этого приближения позволил бы сойтись процессу итераций к точному решению за меньшее число шагов. [c.295] За исключением способа, которым был пронормирован вектор Хд з, эти результаты совпадают с теми, которые были получены в примере 1 (см. п. 4.2). [c.295] Теперь уравнение (4.108), в котором отсутствуют члены, описывающие влияние первых двух форм колебаний, можно использовать в итерационной процедуре для определения третьей формы колебаний. [c.296] Эти значения совпадают с результатами, полученными в примере 1 (см. п. 4.2), за исключением вектора Хдлз. который здесь нормирован иначе. [c.297] Если система имеет два или более одинаковых собственных значения, они будут в равной степени главными, и собственный вектор, к которому будет сходиться итерационный процесс, в свою очередь зависит от выбранного первого приближенного значения для вектора перемещений. С помощью матрицы Тц каждый последующий собственный вектор становится ортогональным к предыдущему собственному вектору, причем это имеет место и в том случае, когда имеются кратные собственные значения. Поскольку собственные векторы, соответствующие кратным собственным значениям, часто имеют нулевые компоненты, необходимо внимательно ознакомиться с проведением процесса ортогонализации, чтобы избежать деления на ноль. [c.297] Таким образом, третий собственный вектор равен 1, у , г = О, —1, 1 и ортогонален двум остальным собственным векторам относительно матрицы М. Подобная система собственных векторов не является единственной, но она удовлетворяет условиям ортогональности, выполнение которых необходимо для собственных векторов при использовании метода нормальных форм колебаний. [c.298] Итерационный процесс понижения числа степеней свободы системы, описанный выше, теоретически можно применять многократно до тех пор, пока не будут определены все частоты и формы колебаний системы со многими степенями свободы. Однако каждое собственное значение и собственный вектор, определяемые таким образом, являются только приближенными. Поэтому проводимая на каждом шаге ортогонализация будет неполной. Более того, каждое понижение числа степеней свободы сопровождается ошибками округления, которые накапливаются с каждым шагом. С вопросом о точности связано и то обстоятельство, что для получения большого числа частот и форм колебаний требуется выполнять необычно большое число арифметических операций, Следовательно, как об этом уже говорилось в начале данного параграфа, итерационный метод лучше всего использовать в том случае, когда требуется определить только несколько низших форм колебаний. Кроме того, необходимость выполнения большого числа арифметических операций в случае систем с очень большим числом степеней свободы требует применения ЭВМ, особенно тогда, когда трудно предугадать формы колебаний. Поэтому в приложении к книге дан текст программы на языке БЕЙСИК, под названием ЕШ1ТЗ, которая позволяет вычислять три первые собственные значения и собственные векторы матрицы с помощью итерационного метода. [c.298] Здесь не было рассмотрено применение итерационного метода к задачам на собственные значения, представленным в виде уравнений движения в усилиях [см. уравнение (4.17)1, поскольку главным при этом были бы наибольшие собственные значения р. В задаче, в которой проще определяются коэффициенты жесткости, а не податливости, можно всегда обратить неособенную матрицу жесткостей S и тем самым получить матрицу податливостей F, которая имеется в уравнении (4.103). С другой стороны, для полуопределенной системы, матрица жесткостей которой является особенной, требуется проводить специальное исследование. В этом случае матрицы жесткостей и податливостей следует редуцировать путем перехода к новой системе координат, чтобы исключить формы движения как абсолютно жесткого тела, которые можно определить с помощью простого рассмотрения и составить процедуру для исключения этих форм. [c.299] Собственные векторы, определяемые с помощью подобной процедуры, преобразуются к исходным координатам согласно выражению (4.110). [c.300] Подобный прием можно распространить на случай произвольного числа форм движений как абсолютно жесткого тела, существующих в данной системе. [c.300] Вернуться к основной статье