ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исследование поведения системы методом нормальных форм колебаний при заданных перемещениях опор из "Колебания в инженерном деле " Через 8осп обозначен вектор-столбец коэффициентов влияния жесткости, которые представляют собой соответствующие свободным координатам перемещения дополнительные усилия, возникающие при задании единичного перемещения л сн- Подобные дополнительные усилия можно определить непосредственно из рассмотрения статического состояния системы при заданном перемещении основания Хосн = 1, но в данном случае их можно вычислить с помощью выражения (д), из которого видно, что дополнительные усилия равны суммам элементов строк матрицы 8, взятым со знаком минус. [c.279] Таким образом, эквивалентные нагрузки, соответствующие относительным свободным координатам перемещения, равны взятым со знаком минус произведениям масс на ускорение х сп основания. Определив эти эквивалентные усилия, можно найти перемещение системы относительно основания, если взять вместо вектора Qo h вектор Q. Поскольку матрицы коэффициентов в уравнениях (4.85) и (4.80) одинаковые, ту же матрицу преобразования Хн можно использовать для перехода от относительных координат к нормальным. [c.281] Где бросн заменяется на бр.. Последовательно используя выражение (4.91), преобразуем полученные результаты к исходным координатам обычным способом. [c.282] Выше были обсуждены четыре способа исследования движений частного вида системы со многими степенями свободы (см. рис. 4.1, а) при наличии движения основания. Если использовать уравнения движения в усилиях, с помощью выражения (4.81) можно определить эквивалентные нагрузки для заданных перемещений, а с помощью выражения (4.86) те же нагрузки для заданных ускорений. Последняя процедура легче первой, однако при этом вычисляются динамические перемещения относительно движущегося основания. С другой стороны, когда записываются уравнения движения в перемещениях, зависящие от времени, свободные координаты перемещений, обусловленных перемещениями основания, определяются из выражения (4.88), а когда задаются ускорения перемещений, эти координаты определяются из выражения (4.93). Сравнивая оба выражения, видим, что первое удобнее второго. Более того, выражение (4.88) также проще, чем выражения (4.81) или (4.86), используемые в подходах с применением уравнений движения в усилиях. Следовательно, в том случае, когда заданы перемещения основания и не трудно определить податливости системы, предпочтительнее подход, основанный на использовании уравнений движения в перемещениях. Это, безусловно, справедливо и для показанной на рис. 4.1, а статически определимой системы, в которой возникают перемещения как абсолютно жесткого тела при движениях основания. Однако для статически неопределимых систем, как правило, удобнее методы, в которых используются уравнения движения в усилиях. [c.282] Дважды применяя выражение (4.91), получим те же значения для перемещений в нормальных координатах, что и в выражении (л). Последующим преобразованием координат вновь получаем окончательные результаты в виде (м). [c.283] Трижды применяя интеграл Дюамеля, получим выражение (т) для перемещений в нормальных координатах, а окончательные результаты совпадают с решениями (у). Из приведенных результатов с очевидностью следует, что наибольший вклад в динамическое поведение системы дает основная форма колебаний, вторая форма колебаний дает вклад намного меньший, чем первая, а третья форма колебаний — намного меньший, чем вторая. [c.284] Приведенные выше примеры иллюстрируют способы исследования систем, для которых задается только один вид перемеш,ения основания как абсолютно жесткого тела. В более сложных задачах могут иметь место три составляюш,ие перемеш,ения основания как абсолютно жесткого тела, а также три поворота как абсолютно жесткого тела. В подобных случаях перемеш,ение Хосп должно представлять собой вектор с компонентами в виде шести типов перемещений, тогда вектор 5осн превратится в матрицу пХб. Кроме того, повороты основания должны быть малыми, с тем чтобы оставалось справедливым допущение о линейности характеристик системы, на котором основывается метод нормальных форм колебаний. Единственными большими перемещениями, допустимыми при линейных исследованиях, являются перемещения как абсолютно жесткого тела. Задачи, которые включают рассмотрение подобных больших динамических перемещений, необходимо исследовать с использованием относительных координат с тем, чтобы избежать потери точности при определении динамических перемещений системы. [c.284] Тогда абсолютное динамическое перемещение системы можно найти, сложив относительное перемещение системы и перемещения основания. [c.285] Здесь Хоп — вектор-столбец перемещений системы в точках опор Son — матрица пХг жесткостей, связывающая свободные коорди-натыуперемещений с перемещениями опор Qon — вектор-столбец эквивалентных нагрузок, обусловленных перемещениями опор. [c.285] Здесь Don — матрица nXr коэффициентов влияния перемещений, представляющих собой перемещения, выраженные в свободных координатах перемещений и обусловленные влиянием единичных перемещений в опорах. Поскольку выражение (4.98) представляет удобную формулу для вычисления элементов таких матриц для сложных систем, то иногда можно вывести их непосредственно. Приведенный ниже пример демонстрирует применение подобного подхода к системе, в которой опоры имеют возможность совершать независимые движения. [c.285] Это решение, выраженное через нормальные координаты, совпадает с решением (э), следовательно, решение в исходных координатах будет определяться выражением (а). [c.287] Ответ Xj = d [4 — (2 + j/2) os pyt — (2 — j/2) os рз /4. [c.287] Ответ-. уу= d 3 — 1,707 os pyt — os p t — 0,293 os Psi)/4. [c.287] Ответ х — d( — 0,334 os p t — 0,314 os p t — 0,352 eos p t). [c.288] Ответ Xi= d (I — 0,708 os p- t — 0,292 os P3I). [c.288] Вернуться к основной статье